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Die Masse einer Stromröhre bleibt bei stationären Strömungen konstant (= Prinzip der Massenerhaltung). Das bedeutet also, der in die Stromröhre einfließende Massenstrom ist gleich dem aus der Stromröhre rausfließende Massenstrom. Dieses Prinzip der Massenerhaltung wird durch die sog. Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Dazu stelle man sich eine Stromröhre vor, in welche ein Massenstrom
Da hier davon ausgegangen wird, dass der Massenstrom konstant bleibt, kann man gemäß der obigen Grafik schreiben:
Methode
mit
Häufig kann die Dichte als konstant angesehen werden (
Methode
bzw. allgemein
Methode
Beispiel 1: Kontinuitätsgleichung
Beispiel
Gegeben sei die obige Grafik. Der Massenstrom
Die Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible Strömung (
Umgestellt nach
Berechnung der Querschnitte:
Die Geschwindigkeit
Die Massenströme bestimmen sich durch:
Da
mit
Beispiel 2: Kontinuitätsgleichung
Beispiel
Gegeben seien zwei Wasserrohre die sich beide zu einer Sammelleitung vereinigen. Die Wasserdichte beträgt
Für die Bestimmung der Querschnitte wird die allgemeine Formel herangezogen:
Umstellen nach
Für jeden einzelnen Querschnitt gilt dann:
Für den Querschnitt des Austrittsrohres ist der Volumenstrom nicht bekannt. Da es sich hierbei aber um eine stationäre Strömung handelt, gilt das Prinzip der Massenerhaltung und demnach kommt genau das aus dem Rohr wieder heraus was reingegangen ist:
Da es sich hierbei noch zusätzlich um eine inkompressible Strömung handelt (
und damit
Der Volumenstrom für das Ausgangsrohr berechnet sich also durch:
Der Ausgangsquerschnitt
Es kann nun aus diesen Querschnitten der jeweilige Radius bestimmt werden:
Die Massenströme ergeben sich zu:
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