Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie mittels Integration auflösen kann, um die Verformung bestimmen zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet.

Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie

Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal:

Methodisches Vorgehen zur Auflösung der Differentialgleichung der elastischen Biegelinie:

1. Bestimmung des Momentenverlaufs . Dieser kann mittels der Schnittgrößen am geschnittenen Balken bestimmt werden. Liegt ein nicht konstanter Momentenverlauf vor, so muss der Balken in mehrere Bereiche unterteilt werden.

2. Falls veränderliche Biegesteifigkeit vorliegt, auch Anpassung der Gleichung in Form von anstelle von .

3. Zweifache unbestimmte Integration, um die Biegelinie zu bestimmen (konstante Biegesteifigkeit angenommen):

• 
  
  Erste Integration
  
  
  
• 
  
  Zweite Integration
  
  

4. Bestimmung der Integrationskonstanten und mit Hilfe der Rand- und Übergangsbedingungen.

Wie die Rand- und Übergangsbedingungen bestimmt werden (Schritt 4), kann dem nachfolgenden Abschnitt entnommen werden.