Beispiel
Ein rechtslaufender Carnot-Prozess mit dem Arbeitsmittel trockene Luft als kalorisch perfektes Gas starte bei einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von 25 °C und erreiche im Prozess im vorgesehenen Zustandspunkt den maximalen Druck von 861,16 bar. Die maximale Prozesstemperatur betrage 1025 °C. Die Gaskonstante des Arbeitsmittels sei mit 287,12
Ermitteln Sie die dimensionslose Kreisprozessarbeit und die spezifische Kreisprozessarbeit in
Für welches maximale Temperaturverhältnis erreicht die spezifische Kreisprozessarbeit ein Maximum und welcher Wert in
Hinweis:
Es handelt sich hier um die gleiche Konstellation wie in Beispiel 2, wir können Teilergebnisse übernehmen!
Gegeben:
Dimensionslose Parameter:
Arbeitsmittel:
Lösung:
- Kreisprozessarbeit und thermischer Wirkungsgrad (gerundet auf fünf gültige Ziffern)
Dieses Ergebnis stimmt mit dem aus Beispiel 2 überein!(auch hier die erwartete Übereinstimmung mit Beispiel 2!) - maximale Ausbeute für Kreisprozessarbeit bei gegebenem Druckverhältnis (τmax)opt aus Lösung der transzendenten Gleichung:
Lösung über SOLVE-Funktion des Taschenrechners:
Steht die SOLVE-Funktion auf dem Taschenrechner nicht zur Verfügung, müssen wir das Newton´sche Iterationsverfahren bemühen und benötigen einen Startwert für die numerische Lösung. Je besser wir den Startwert schätzen, desto schneller konvergiert das Verfahren. Beim Schätzen des Startwerts hilft manchmal eine grafische Skizze der Funktion.
Newton´sche Iteration:
mit und
Geschätzter Startwert:
Nach dem zweiten Iterationsschritt liegt hier schon eine Übereinstimmung in 6 gültigen Ziffern mit dem oben erhaltenen Ergebnis vor. Wir runden das Ergebnis auf 5 gültige Ziffern und erhalten (τmax)opt = 3,4034.
Für dieses Temperaturverhältnis ergibt sich die maximal mögliche Kreisprozessarbeit
Die spezifische Kreisprozessarbeit gewinnen wir wieder aus:
Der zugehörige thermische Prozesswirkungsgrad errechnet sich jetzt über
Die Absenkung des maximalen Temperaturverhältnisses führt wie erwartet auch zu einer Verringerung des thermischen Wirkungsgrades. Die Arbeitsausbeute wurde mit der Rücknahme des Temperaturverhältnisses auf das optimale Temperaturverhältnis aber deutlich gesteigert.
Kommentar zu diesem Beispiel:
Für jedes maximale Druckverhältnis existiert beim Carnot-Prozess genau ein maximales Temperaturverhältnis, bei dem die maximal mögliche Ausbeute an Kreisprozessarbeit erzielt werden kann. Wird das Temperaturverhältnis darüber hinaus gesteigert, steigt der thermische Wirkungsgrad zwar weiter, die Kreisprozessarbeit verringert sich dann aber. Für jede Wärmekraftmaschine ist also beim Entwurf zu überlegen, in welchem Verhältnis Leistung und Wirkungsgrad zueinander stehen sollen.
