In den nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgenden Energiebilanzen spielen die kalorischen Zustandsfunktionen innere Energie U = U(V,T) für das geschlossene und Enthalpie H = H(p,T) für das offene System eine große Rolle, weil sie den energetischen Zustand eines thermodynamischen Systems charakterisieren. Als Zustandsgrößen sind innere Energie und Enthalpie vollständige Differentiale, t
Methode
Die Enthalpie H ist als Zustandsgröße definiert als
Methode
Aus dem Überströmversuch von Gay-Lussac wissen wir, dass die innere Energie U eines idealen Gases nicht vom Volumen V abhängt. Von daher ist bei idealem Gas der Differentialquotient
Der Differentialquotient
Methode
Den im vollständigen Differential verbleibenden Differentialquotienten
Methode
Aus h = u + p · v = u + Ri · T entsteht nach Differentiation ein sehr bemerkenswerter Zusammenhang zwischen den spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck und bei konstantem Volumen.
Methode
Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck ist stets größer als die bei konstantem Volumen. Für einen gleich großen Temperatursprung
Die obige Gleichung führt außerdem im Zusammenhang mit
Methode
Bezieht man die spezifische Wärmekapazität nicht auf die Masse m, sondern auf die Stoffmenge n, erhält man die molaren spezifischen Wärmekapazitäten (zusätzlicher Index m für molar). Für gleiche Teilchenzusammensetzung besitzen die molaren spezifischen Wärmekapazitäten jeweils gleiche Werte.
Methode
| einatomiges Gas | ||
| zweiatomiges Gas | ||
| dreiatomiges Gas | ||
| dreiatomiges Gas |
Beispiel
Isochore Zustandsänderung für Tiefkühlraum
In einem Tiefkühlraum von 8,5 m Länge, 4,5 m Breite und einer Höhe von 3,2 m herrsche bei einem Druck von 1 bar die Solltemperatur von –25 °C. Während einer Begehung des Kühlraums findet ein Luftaustausch statt und es werden 16 m3 Umgebungsluft von 21 °C, die gleichfalls einen Druck von 1 bar aufweist, mit 16 m3 Kühlraumluft getauscht. Nach dem Schließen der Kühlraumtür springt das Kühlaggregat an, um die Luft im Kühlraum wieder auf Solltemperatur zu kühlen. Die Gaskonstante der Luft sei hier mit 287,12
- Welche Temperatur in Grad Celsius stellt sich unmittelbar nach dem Luftaustausch ein, wenn man von sofortiger vollständiger Durchmischung ausgehen könnte?
- Welche Wärme in kWh muss der Luft im Kühlrauminneren zur Erreichung der Solltemperatur wieder entzogen werden?
- Nach welcher Zeit ist die Solltemperatur wieder erreicht, wenn die Leistung des verlustlos arbeitenden Kälteaggregats 1,5 kW beträgt?
- Welcher Druck stellt sich im Kühlraum nach Erreichen der Solltemperatur ein?
- Ermitteln Sie, welche Kraft durch den äußeren Luftdruck auf eine Tür mit 2 m² Türfläche wirkt?
Gegeben:
Hinweise für die Lösung:
Kühlräume sind luftdicht abgeschlossen und daher als geschlossene Systeme zu betrachten. Beim Begehen wird jedoch die Kühlraumtür geöffnet und für diese Zeit liegt ein offenes thermodynamisches System vor. Der Druckausgleich erfolgt sofort, der Kühlraum besitzt dann auch den konstanten Umgebungsdruck. Für die Berechnung der sich nach idealer Mischung von Kühlraum- und Umgebungsluft einstellenden Temperatur ist von einem isobaren Prozess auszugehen und die spezifische Wärmekapazität von Luft bei konstantem Druck zu verwenden. Nach Schließen der Tür des Tiefkühlraums liegt wieder ein geschlossenes System vor und man muss von einem isochoren Prozess ausgehen. Für zugehörige Rechnungen ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen einzusetzen.
Lösung:
- Mischungstemperatur aus „kalter“ Tiefkühlraumtemperatur und „warmer“ Lufttemperatur Ansatz mit Grundgleichung der Kalorik Q(TM, VK) = Q(TK,(VK - VL)) + Q(TL, VL) mit einer willkürlich gewählten Bezugstemperatur T0 = 0 K
Masse der Luft aus Grundgleichung für ideales Gas
Alle mit T0 = 0 K zu multiplizierenden Glieder entfallen. Die Gaskonstante RL, die konstante spezifische Wärmekapazität cp und der Luftdruck pL können gekürzt werden, so dassund daraus entsteht - Wärmeentzug Q<0 im geschlossenen Tiefkühlraum
Die einfachste Möglichkeit besteht in der Berechnung des Wärmeentzugs für die eingedrungene Umgebungsluft (gleichzeitig die genaueste, weil keine gerundeten Zwischenergebnisse einfließen):
Das negative Vorzeichen im Ergebnis zeigt an, dass die Wärme dem System entzogen wird!
2. Möglichkeit: gesamter Rauminhalt wird von Mischungstemperatur auf Solltemperatur gekühlt:
3. Modellierung durch ein geschlossenes System mit zwei Teilsystemen: - Zeit
zum erneuten Erreichen der Solltemperatur im Kühlraum - Innendruck
nach Wiedererreichen von ohne Druckausgleich - Kraft F auf Tür
Die Kraft entspricht einer beim Öffnen der Tür auf ihr liegenden Masse von ca. 417 kg. In Tiefkühlräumen wird deshalb neben der Tür eine Druckausgleichsklappe angebracht, um das erneute Öffnen der Tür nach einer Begehung zu ermöglichen. Den hier demonstrierten Effekt können Sie auch beobachten, wenn ein Kühlschrank längere Zeit offen stand (starker Luftaustausch), dann geschlossen und kurz danach noch einmal geöffnet wird. Die Kraft ist aber grundsätzlich geringer und mit Muskelkraft überwindbar, weil die Türen kleiner und die Kühlschranktemperaturen deutlich höher als im Tiefkühlraum sind.
Wie nachfolgendes Beispiel zeigt, ist die Beheizung oder Kühlung eines Raumes mitnichten immer ein isochorer Vorgang!
Beispiel
Beheizung eines Zimmers (Isobare Zustandsänderung)
Ein Unterrichtsraum von 8,5 m lang, 4,5 m breit und 3,2 m hoch und sei nur mit Luft (Gaskonstante 287,12
- Welches Luftvolumen in m³ und welche Luftmasse in kg entweichen bei der Erwärmung durch Luftspalte an Türen und Fenstern?
- Welche Wärme in kWh ist durch die Heizung zuzuführen?
- In wie viel Minuten wäre der Raum mit einer elektrischen Heizung von 2 kW Leistung auf die Solltemperatur von 22 °C zu bringen, wenn die Raumwände adiabat wären?
- Welchen Änderungen unterliegt die innere Energie der im Raum eingeschlossenen Luft?
Gegeben:
Hinweise für die Lösung:
- Spontan wird oft von einer Wärmezufuhr bei konstantem Volumen ausgegangen. Das Volumen des Zimmers ändert sich während der Beheizung tatsächlich nicht. Aber eine isochore Wärmezufuhr (geschlossenes System) hätte eine Druckerhöhung zur Konsequenz. Erfahrungsgemäß bleibt der Druck bei der Raumheizung konstant, weil ein Teil der Luft durch vorhandene Undichtigkeiten an den Türen und Fenstern entweicht. Hier muss also die spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck angewendet werden.
- Betrachtet man die durch die Begrenzung des Raumes eingeschlossene Luft als offenes thermodynamisches System, verringert sich während der Beheizung die enthaltene Luftmasse stetig. Deshalb kann zur Berechnung der erforderlichen Heizwärme nicht die für konstante Werte gültige Gleichung Q = m · cp · (t2 - t1) angesetzt werden. Stattdessen folgt man der Überlegung, dass die Zufuhr eines differentiell kleinen Betrages Heizenergie dQ einen nur differentiell kleinen Temperaturanstieg dT bewirkt, für den man von einer konstanten Luftmasse ausgehen kann, die für jede Temperatur T zu ermitteln ist aus:
Dieser Bezug erfordert auch eine Umrechnung der gegebenen Celsiustemperaturen auf thermodynamische Temperaturen in K, obwohl in der Grundgleichung der Kalorik nur Temperaturdifferenzen auftauchen.
Zur Ermittlung der für die Aufheizung benötigten Heizwärme integriert man dann über das gesamte Temperaturintervall.
Lösung:
- entwichenes Luftvolumen Ventw
Zunächst bestimmt man mit dem Gesetz von Gay-Lussac für p = konstant, welches Volumen die Luft bei der Temperaturerhöhung von 16°C auf 22°C einnehmen würde. Die Differenz zu dem durch die Raumbegrenzung vorgegebenen Volumen, stellt das gesuchte Luftvolumen dar, das bei der Erwärmung über vorhandene Undichtigkeiten entwichen ist. - erforderliche Heizwärme Q
Nach unseren Vorüberlegungen ergibt sichHier klicken zum AusklappenHinweis
Die gegebene Gaskonstante wird nicht benötigt, wenn man das Problem komplett formelmäßig bearbeitet. Wird die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck in einer Nebenrechnung ermittelt, fließt die Gaskonstante in die Rechnung ein und kann eine Quelle für mögliche Rundungsfehler sein!
- erforderliche Aufheizzeit
Hier ist auch die erwärmte Luft einzubeziehen, die über Undichtigkeiten dem Raum entwichen ist! - innere Energie U der im Raum befindlichen Luft
Für den Unterrichtsraum bleiben Druck p und Volumen V während des Heizens stets konstant. Mit der Grundgleichung für ideales Gas p · V = m · RL · T muss damit bei einer Temperaturerhöhung im selben Maß die Masse abnehmen. Die innere Energie U des im Raum befindlichen Gases, die sowohl direkt proportional zur Temperatur T als auch zur Masse m ist, bleibt unter diesen Bedingungen konstant. Die Erhöhung der inneren Energie durch die Wärmezufuhr wird immer genau ausgeglichen durch die Verminderung der Luftmasse im Raum. Wir verwenden im Folgenden auch den willkürlich gewählten Bezugspunkt T0 = 0 K.
Wenn man die Abhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität bei Gasen von der Prozessführung nicht nur für isobare und isochore Zustandsänderungen betrachtet, sondern allgemein auf polytrope Zustandsänderungen erweitert, gelangt man zur spezifischen Wärmekapazität cn für polytrope Zustandsänderungen. Den Index n verwenden wir hier für polytrop, abgeleitet aus dem Polytropenexponenten n.
Methode
Die gebrochen rationale Funktion cn = cn(n) besitzt – wie die Abbildung zeigt – bei n = 1 einen Pol mit Vorzeichenwechsel! Für n = 0 (isobare Zustandsänderung) erhalten wir cp = cV · κ und mit n → ∞ (isochore Zustandsänderung) im Zuge eines Grenzübergangs cn = cV. Dies sind die beiden schon bekannten Spezialfälle für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck und bei konstantem Volumen. Außerdem zeigt die Abbildung, dass für isentrope Zustandsänderungen mit n = κ die polytrope Wärmekapazität verschwindet (cn = 0). Definitionsgemäß verlaufen isentrope Zustandsänderungen reibungsfrei (keine Reibungswärme) und q12 erfährt während des gesamten Prozesses keine Änderung. Praktisch sind solche Zustandsänderungen jedoch nicht zu verwirklichen.
Tatsächlich verlaufen Zustandsänderungen oft im Bereich 1 < n < κ , also zwischen den beiden (theoretischen) Grenzfällen isotherm und isentrop. Überraschend aber mathematisch konsequent ist in diesem Bereich die polytrope Wärmekapazität cn negativ! Wird einem geschlossenen System unter diesen Bedingungen Wärme zugeführt, gilt nach den Bilanzregeln q12 > 0. Dies ist für cn < 0 nur zu verwirklichen, wenn T2 < T1 ist, also bei Wärmezufuhr eine Temperaturerniedrigung auftritt! Nach den allgemein gültigen Prinzipien der Energieerhaltung muss das System dann gleichzeitig durch Expansion des Arbeitsmittels Arbeit abgeben. Bei der polytropen Kompression eines idealen Gases mit Polytropenexponenten im Bereich 1 < n < κ wird Volumenänderungsarbeit zugeführt und es kommt zu einer Temperaturerhöhung (T2 – T1) > 0. Wegen cn < 0 muss mit q12 = cn · (T2 – T1) gleichzeitig Wärme abgeführt werden.
Merke
Bei einer polytropen Zustandsänderung im Bereich 1 < n < κ treten Wärme und Arbeit gleichzeitig in einem festen Verhältnis über die Systemgrenze.
Methode
Im Bereich 1 < n < κ gilt immer
- Wird Volumenänderungsarbeit zugeführt, muss Wärme frei werden.
- Wird Volumenänderungsarbeit frei, muss Wärme zugeführt werden.
Beispiel
Verdichtung von Luft im Zylinder eines Dieselmotors
Trockene Luft mit einer Gaskonstante von 287,12
- Wird die Zündtemperatur für Dieselkraftstoff (t ≥ 225 °C) durch die Verdichtung erreicht?
- Welche spezifische Volumenänderungsarbeit in kJ/kg ist für die polytrope Verdichtung aufzuwenden?
- Welche spezifische Wärme in
wird bei der polytropen Verdichtung über die Zylinderwand abgeführt?
Gegeben:
Lösung:
- polytrope Verdichtungsendtemperatur nach Ermittlung Polytropenexponent n
Mit der Verdichtungsendtemperatur von t2 = 528,18 °C wird die geforderte Zündtempera-
tur erreicht. - spezifische Volumenänderungsarbeit für polytrope Verdichtung mit n = 1,3566
Es ist:und sowie so dass schließlich folgt und daraus die spezifische Volumenänderungsarbeit mit den gegebenen Größen berechnet werden kann über: - über Zylinderwand abgegebene Wärme
oder
Aus den Definitionsgleichungen für die Wärme q12 = c · (T2 – T1), für die Volumenänderungsarbeit
Die Gaskonstante ist wie der Name schon sagt eine Konstante und für eine isochore Zustandsänderung (dν = 0) bleibt das spezifische Volumen konstant, so dass beide Größen als konstante Faktoren zu behandeln sind. ν · dp = Ri · dT liefert nach bestimmter Integration ν · (p2 - p1) = Ri · (T2 - T1). Eingesetzt in die Formel zur Berechnung der isochoren Wärmezufuhr ergibt sich nun
Nachfolgend wollen wir uns bei idealem Gas für die Berechnung der Wärme, der Volumenänderungsarbeit und der technischen Arbeit eine Formelübersicht verschaffen:
Methode
Zustandsänderung:
Methode
Zustandsänderung:
Methode
Zustandsänderung:
