Beispiel
Auf eine 80 cm starke Sandsteinwand einer Kirche treffe senkrecht von außen im Tagesmittel eine solare Strahlung in Höhe von 48
- Wie hoch sind die Temperaturen an der Wand innen und außen sowie in der Wandmitte?
- Auf welchen Wert müsste sich die Wärmestrahlung an der Außenwand erhöhen, damit die Temperaturen in der Wand um 2 K steigen?
Hinweis:
Wähle das Koordinatensystem so, dass der Ursprung (x = 0) mit der Außenwand zusammenfällt!
Gegeben:
| Sandsteinwand: | ||||
| Randbedingungen: | Außenwand (links): | Innenwand (rechts): |
Lösung:
Hier liegt eine eindimensionale Wärmeleitung in einer ebenen Wand vor mit Randbedingungen zweiter Art am rechten Rand und dritter Art am linken Rand. Innere Wärmequellen liegen nicht vor. Die allgemeine Lösung der Laplace´schen Differentialgleichung lautet für diesen Fall: t(x) = C1 · x + C2. Die beiden allgemeinen Integrationskonstanten sind nun noch durch die Randbedingung zweiter Art links und Randbedingung dritter Art rechts anzupassen.
- Ermittlung der Wandtemperaturen über Gleichung für die Temperaturverteilung Ausgangspunkt: allgemeine Lösung:
und wegen gradt Differentiation nach Anpassung von C1 und C2 für die spezielle Lösung: • links: x = 0: • rechts x = δ:
Einsetzen von C1 und C2 in die allgemeine Lösung liefert:
Außenwand:
Innenwand:
Wandmitte: - erforderlicher Wärmestrom an Außenwand für das Ansteigen der Wandtemperaturen um 2 K
Der Temperaturverlauf in der Wand folgt einer streng monoton von der Außen- zur Innenwand fallenden, inearen Funktion. Wir suchen also diejenige Wärmestromdichte, mit der die Gerade um 2 K nach oben verschoben wird. Am einfachsten wird die Rechnung, wenn wir dafür die Innenwandtemperatur heran- ziehen, prinzipiell möglich wäre aber auch die Bestimmung über die beiden anderen schon berechneten Temperaturen!
Eine Kontrolle zu Richtigkeit der ermittelten Temperaturen ergibt sich mit
Der der Außenwand zufließende Wärmestrom muss an der Innenwand auch wieder abfließen, ansonsten könnte sich kein Beharrungszustand (stationäre Wärmeleitung) einstellen.
Beispiel
Durch ein freiliegendes Kabel aus Kupfer mit einem Radius von 8 mm sowie einer Länge l fließe ein Strom von 300 A. Das Kabelmaterial Kupfer verfüge über einen spezifischen elektrischen Widerstand von 0,016 · 10–6 Ω·m und über eine Wärmeleitfähigkeit von 397
Welche Temperatur herrscht auf der äußeren Mantelfläche des Kabels und welche in der Kabelseele?
Hinweis:
Rufe Dir bitte ein paar Zusammenhänge aus der E-Technik wieder ins Gedächtnis!
Gegeben:
| Kabel: | rCu = 0,008 m | ρel,Cu = 0,016·10–6 Ω·m | I = 300 A |
| λ = 397 | |||
| Randbedingung: | α = 25 | tU = 27°C |
Lösung:
Hier handelt es sich um ein stationäres Wärmeleitproblem in einem Zylinder. Der fließende Strom führt im Zusammenhang mit dem spezifischen elektrischen Widerstand zur Bildung von sogenannter Joule´schen Wärme, weswegen sich das Kabel über eine innere Ergiebigkeit erwärmt.
Die allgemeine Lösung für dieses Problem ergibt sich aus der Poisson´schen Differentialgleichung und lautet:
Zur Anpassung der beiden frei wählbaren Integrationskonstanten ist uns scheinbar nur eine Randbedingung gegeben. Eine zweite Randbedingung ergibt sich aus der Tatsache, dass hier in Bezug auf die Wärmeleitung ein symmetrisches Problem vorliegt und wir für eine Lösung nur eine Symmetriehälfte des Kabels betrachten müssen. Daraus folgt nun, dass in der Mitte des Kabels (in der Kabelseele) kein Wärmestrom fließt (adiabate Systemgrenze!), so dass hier eine spezielle Form der Randbedingung zweiter Art vorliegt.
- Randbedingung zweiter Art für die adiabate Symmetrieachse bei r = 0
- Randbedingung dritter Art für den Kabelmantel bei r = rCu
mit C1 =0 folgt für Hier ist es zweckmäßig, nach der Temperatur an der Mantelfläche des Kabels t(rCu) aufzulösen! Es folgt:
Dies eingesetzt inmit C1 = 0 ergibt oder
C2 eingesetzt in die allgemeine Lösung führt schließlich nach einigen Umformungen auf die spezielle Lösung:
Nun bestimmen wir den für die Temperaturverteilung im Kabel fehlenden Parameter volumenspezifische Ergiebigkeit:
Die Temperatur in der Kabelseele (r = 0) kann nun bestimmt werden aus
Die Temperatur auf der Mantelfläche des Kabels (r = rCu) beträgt
Die Unterschiede zwischen Temperatur auf der Mantelfläche und der Kabelseele sind marginal! Größere Temperaturunterschiede würden auch Wärmespannungen verursachen.
