Wärmeübertrager mit Phasenübergang

Verdampfer und Kondensatoren stellen spezielle Rekuperatoren dar, bei denen sich der Aggregatzustand eines strömenden Fluids ändert und für die Dauer dieser Änderung (Durchschreiten des Zweiphasengebietes) dessen Temperatur konstant bleibt. Im Verdampfer verdampft das Kühlmittel (Index 2) bei Siedetemperatur, im Kondensator kondensiert bei Kondensationstemperatur das Heizmittel (Index 1). Unter Berücksichtigung der vom Druck abhängigen Verdampfungsenthalpie eines reinen Stoffes r(p) und der Änderung des Dampfanteils Δx erfasst man die Energiebilanz nun über:

Neben beiden jeweils in gemessenen Kapazitätsströmen und fällt die Übertragungsfähigkeit K = k · A als wichtige Einflussgröße in der Energiebilanz auf. Sie ist ein Charakteristikum für den Wärmeübertrager. Bei Bestellung eines benötigten Wärmeübertragers aus den Katalogen von Herstellern ist die Übertragungsfähigkeit K das entscheidende Auswahlkriterium, die übertragene Wärmeleistung  ist durch das Temperaturniveau der beiden Stoffströme innerhalb der Übertragungsfähigkeit beliebig einzustellen. Bei bekannter Strömungsführung eines Wärmeübertragers lassen sich für jeden seiner Betriebspunkte der übertragene Wärmestrom und die mittlere Temperaturdifferenz aus den Massenströmen und den thermophysikalischen Eigenschaften von Heiz- und Kühlmedium berechnen und somit ist dann auch die Übertragungsfähigkeit bestimmbar.

Neben den in gemessenen Größen , und K wird die Energiebilanz durch die in Kelvin anzugebenden drei Temperaturdifferenzen Δt₁ = t₁^' - t₁^'', Δt₂ = t₂^'' - t₂^' und Δt_max = t₁^' - t₂^' bestimmt. Für die Energiebilanz liegen also sechs relevante Einflussgrößen vor, die in zwei verschiedenen Maßeinheiten auftreten. Deshalb sind die in der Energiebilanz formulierten Zusammenhänge auch durch vier dimensionslose Kennzahlen zu erfassen. Die dimensionslosen Kennzahlen bieten erhebliche Rechenvorteile, wenn die beiden Ablauftemperaturen t₁^'' und t₂^'' unbekannt sind. Wenn man andere Stromführungen als Gleich- oder Gegenstrom untersuchen will, etwa verschiedene Formen des Kreuzstroms, sind die dimensionslosen Kennzahlen die einzige Möglichkeit, die für die Berechnung solcher Wärmeübertrager in Frage kommt.

Bei der Definition der oben erwähnten dimensionslosen Kennzahlen spielt die maximale Temperaturdifferenz im Wärmeübertrager Δt_max = t₁^' - t₂^' aus den häufig als bekannt vorauszusetzenden Eintrittstemperaturen t₁^' und t₂^' eine besondere Rolle.

NTU als der Bezug der Übertragungsfähigkeit K auf einen Kapazitätsstrom gibt eine spezifische Anzahl dimensionsloser Heizflächen (Anzahl der Übertragungseinheiten) an. Mit größer werdenden Werten für NTU durch Verbesserung der Übertragungsfähigkeit K verringern sich die Temperaturdifferenzen zwischen Heiz- und Kühlmedium. Eine unendlich große Heizfläche (NTU → ∞) sorgt für einen vollständigen Temperaturausgleich. Schon bei NTU = 5 steht am Austritt des Wärmeübertragers weniger als 1% der anfänglichen Temperaturdifferenz als treibender Gradient zur Verfügung. Eine Vergrößerung der Heizfläche zur Steigerung der übertragenen Wärmeleistung sollte nur so lange in Betracht gezogen werden, wie die Betriebscharakteristik P mit wachsenden Werten für NTU bei konstantem Kapazitätsstromverhältnis R noch merklich ansteigt. Werte NTU > 5 sind wirtschaftlich absolut nicht mehr sinnvoll, praktisch arbeitet man für Gegenströmer oft im Bereich von 2 ≤ NTU ≤ 3, bei Gleichströmern noch deutlich darunter (0,9 ≤ NTU ≤ 1,6). NTU → 0 zeigt das Vorliegen einer sehr schlechten Übertragungsfähigkeit K oder eines sehr hohen Kapazitätsstroms an. Die Temperatur des betreffenden Fluids ändert sich dann bei der Durchströmung des Wärmeübertragers praktisch nicht.

Die dimensionslosen Kennzahlen existieren nicht unabhängig voneinander, sondern sind über die Energiebilanz miteinander verknüpft:

F (P_i, NTU_i, R_i) = 0 beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennziffern. Diese Gleichung sagt nur aus, dass ein Zusammenhang zwischen diesen Größen existiert und stellt keine konkrete Rechenvorschrift dar. Für ausgewählte Stromführungen ist es aber möglich, aus diesem allgemeinen Zusammenhang spezifische Formeln zu entwickeln. Es kann gezeigt werden, dass die Betriebscharakteristik P_i eine Funktion zweier anderer dimensionsloser Kennzahlen ist: P_i = P_i(NTU_i, R_i).

Die Verwendung dimensionsloser Kennzahlen gestattet in Verbindung mit speziellen Diagrammen im Rahmen grafisch erreichbarer Genauigkeiten die vereinfachte Berechnung komplexer Strömungsführungen in Wärme-übertragern. Für ausgewählte Fälle sind entsprechend aufbereitete Diagramme im VDI-Wärmeatlas enthalten. Wir beschränken uns in diesem Kurs ausschließlich auf die Parallelströmer. Obwohl die grafischen Diagrammlösungen auch für den Gleich- und Gegenströmer existieren, verzichten wir darauf und setzen nur auf die mit dem Taschenrechner noch auswertbaren analytischen Lösungen für deren vereinfachte Berechnung.

Die Herleitung der speziellen Funktionen P_i = P_i(NTU_i, R_i) aus der zentralen Energiebilanz für die kinetische Kopplung kannst Du aus der einschlägigen Fachliteratur entnehmen. Wir haben für Dich hier nur in Tabelle 9 ausgewählte Ergebnisse zusammengestellt und geben Dir nur noch einige Hinweise zum Gebrauch der Formeln.

Für Wärmeübertrager mit einem Kapazitätsstromverhältnis von R = 1, wie es zum Beispiel oft in solar-thermischen Anlagen auftritt, gelten hinsichtlich der in der Tabelle aufgeführten Formeln einige Besonderheiten. Mit den schon behandelten funktionalen Abhängigkeiten zwischen den dimensionslosen Kennzahlen ergibt sich dabei folgende Situation:

R = 1 bedeutet auch woraus wiederum folgt NTU₁ = NTU₂

Daher müssen in den Formeln für R = 1 die dimensionslosen Kennzahlen nicht indiziert werden, für Heiz- und Kühlmedium weisen die dimensionslosen Kennzahlen gleiche Werte auf.

1. Gleichstrom:
   Verfügen Gleichstrom-Rekuperatoren über eine hohe Zahl von Übertragungseinheiten (im Grenzfall NTU_i → ∞) ist am Ausgang nur noch die halbe Temperaturdifferenz zwischen heißem und kaltem Stoffstrom vom Eintritt in den Wärmeübertrager vorhanden (P = 0,5). Danach kann keine Wärme mehr übertragen werden. Für die Übertragungsfähigkeit im Gleichstrom existieren also Grenzen, die aus der Gleichung für die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ abgeleitet werden können. Das im Nenner stehende Argument für den Logarithmus naturalis (1 – (P₁ + P₂)) muss stets positiv sein 1 – (P₁ + P₂) > 0. Daraus folgt 1 > (P₁ + P₂) und mit P₁ = P₂ · R₂ oder P₂ = P₁ · R₁ kann geschrieben werden 1 > P₁ (1 + R₁) bzw. 1 > P₂ · (1+ R₂), woraus schließlich abzuleiten ist
   
   
   Besonderheiten R = 1
   Die Gleichung für die Betriebscharakteristik P_i vereinfacht zu
   
   
   
2. Gegenstrom:
   Besonderheiten R = 1
   Für R = 1 und damit NTU₁ = NTU₂  sowie P₁ = P₂ entstehen in der Gleichung für die Betriebscharakteristik und in der Gleichung für NTU unbestimmte Ausdrücke der Form „null durch null“. Nach Anwendung der Regel von Bernoulli de l´Hospital gewinnt man dafür aus:
   
   
   • für die Betriebscharakteristik:
     
     Man achte bei der Ableitung im Nenner auf die Anwendung der Produktregel!
     
     
   • für die Anzahl der Übertragungseinheiten:
     
     
     
   • für die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz
     
     
     
     
     
     
3. Rekuperatoren mit Phasenübergang eines Fluids (Kondensator, Verdampfer)
   Für den Kondensator wird wegen Δt₁ = 0 auch die Betriebcharakteristik P₁ = 0. Das Kapazitätsstromverhältnis R₂ strebt gegen null. Es ist völlig egal, ob man diese Parameter in die Berechnungsformeln für die Gleichstrom- oder die Gegenstrom-Rekuperatoren einsetzt, es ergeben sich immer die in der Tabelle für den Kondensator angegebenen Formeln. Analoges gilt für den Verdampfer mit der Betriebscharakteristik P₂ = 0 wegen Δt₂ = 0.
   
   
4. Wärmeübertragung im Rührwerk
   Bei Rührkesseln mit kontinuierlichen und ideal vermischten Massenströmen im stationären Betrieb liegt im Behälter eine gleichmäßige Temperatur vor, mit der die betreffenden Medien auch aus dem Behälter austreten. Der Flüssigkeitsvolumen im Reaktor V_R hängt von der Verweilzeit τ_V ab. Für ein fest vorgegebenes K kann über die dimensionslose Kennzahl NTU die Verweilzeit τ_V bestimmt werden.
   
   
   
   Für den stationär betriebenen einseitig ideal vermischten Rührkessel wird in Übereinstimmung mit der rechten Bildhälfte in Abb.12 der Index 1 immer für den unvermischten Strom vergeben, unabhängig davon, ob der unvermischte Strom Heiz- oder Kühlmittel ist. Für die Temperatur des vermischten Stroms im Behälter gilt immer t₂ = t₂^".