Strahlungsaustausch zwischen festen Körpern

Die Änderung der inneren Energie eines Körpers durch Strahlung ergibt sich aus der Differenz der emittierten und absorbierten Energiebeträge. Obwohl ein „kalter“ Körper nach Maßgabe seiner Temperatur T auch Strahlung an einen „wärmeren“ Körper sendet, muss nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik der Energietransport vom warmen zum kalten Körper überwiegen.

Die geometrische Lage der am Strahlungsaustausch beteiligten Flächen entscheidet darüber, welcher Betrag der von einer Fläche ausgesandten Strahlung (Sender mit dem Index 1) bei der empfangenen Fläche (Empfänger Index 2) ankommt. Für den Anteil des sichtbaren Lichts an der Wärmestrahlung könnte man anschaulicher formulieren, wie viel die Flächen voneinander „sehen“. Solche Sichtfaktoren F_ij (Index i = abstrahlende Fläche, Index j = aufnehmende Fläche) werden  Geometriefaktor, Einstrahlzahl, Formfaktor oder Winkelverhältnis genannt. Ihre Bestimmung folgt ausschließlich mathematisch geometrischen Gesetzen.

Ehe wir uns der Ermittlung von Sichtfaktoren für beliebig zueinander angeordneten Flächen zuwenden, betrachten wir zwei wichtige Sonderfälle, die dadurch charakterisiert sind, dass jeweils die gesamte von einem Körper ausgehende Strahlung auf den anderen Körper trifft. Das Attribut „ausgehend“ bedeutet hier nicht emittiert, sondern schließt Reflexion mit ein.

1. Strahlungsaustausch zwischen zwei unendlich ausgedehnten parallelen ebenen Wänden:

Diese Gleichung wird angewendet für zwei diffus strahlende oder spiegelnde parallele Oberflächen unendlicher Ausdehnung. Außerdem beschreiben diese Gleichungen das Verhalten in konzentrischen Zylindern oder Kugeln, wenn die Oberfläche im Innenkörper diffus und die umhüllende Außenfläche spiegelnd strahlen.

2. Strahlungsaustausch im Hohlraum konzentrischer Zylinder- oder Kugelflächen

Die konvexe Fläche A₁ kann keine Strahlung von sich selber erhalten. Die von A₁ ausgehende Strahlung trifft aber vollständig auf die Fläche A₂ des äußeren Zylinders (der äußeren Kugel) 2 (siehe Abbildung 18 Strahlengang (a)). Ein Teil der Strahlung wird von A₂ durch Reflexion auf A₁ zurückgeworfen und hiervon wiederum ein Teil von A₁ an A₂ reflektiert. Diese Mehrfachreflexionen zwischen den Oberflächen finden so lange statt bis der Reflexionsanteil gegen null strebt, weil bei jedem Kontakt der Strahlung mit Oberflächen ein Teil davon absorbiert wird. Die von dem äußeren Zylinder (der äußeren Kugel) ausgehende Strahlung der eine vollständige Umhüllung darstellenden Fläche A₂ trifft nur nach Maßgabe des Flächenverhältnisses auf die Zylindermantelfläche A₁ (Kugeloberfläche A₁) und der übrige Teil auf A₂ (Strahlengänge (b) und (c)).

Wegen der unterschiedlichen Größenverhältnisse der strahlenden Flächen darf die Gleichung für den ausgetauschten Wärmestrom nicht flächenspezifisch, wie für die beiden unendlich ausgedehnten parallelen Wände formuliert werden. Analog zu dem oben beschriebenen Vorgehen folgt jetzt

Je größer die Umhüllungsfläche A₂, desto höhere Werte erreicht der Wärmestrom . Ist die Fläche A₂ sehr viel größer als A1, insbesondere bei hemisphärischer Abstrahlung mit A₂ → ∞, folgt mit → 0 ein Höchstwert für den Strahlungsaustauschkoeffizienten . In diesem Fall hängt die Wärmeübertragung durch Strahlung ausschließlich von den Eigenschaften des umschlossenen Körpers ab. Die Fläche des Innenkörpers A₁ kann spiegeln oder diffus strahlen, es wird aber immer vorausgesetzt, dass die umhüllende Fläche A₂ diffus strahlt. Bei spiegelnder umhüllender Außenfläche A₂ sind Einfalls- und Reflexionswinkel gleich. Die Strahlengänge entsprechenden dann denen bei unendlich ausgedehnten ebenen Wänden. Der Strahlungs-austauschkoeffizient C₁₂ strebt gleichfalls gegen den für die parallelen, unendlich ausgedehnten ebenen Wände angegebenen Wert, wenn der Durchmesser des inneren Zylinders (der inneren Kugel) nur geringfügig kleiner ist als der des äußeren, also d₁ ≈ d₂.

Streng genommen gilt die oben erwähnte Formel nur für unendlich lange, koaxiale Zylinder und konzentrische Kugeln. Für den Fall A₂ → ∞ wird diese Formel als Näherung auch für andere Geometrien verwendet.

Allgemeine geometrische Konstellationen

Viele Fälle, bei denen sich zwei Flächen im Raum gegenüberstehen, können nicht auf die beiden oben vorgestellten Sonderfälle des Strahlungsaustausches zurückgeführt werden. Praktisch ist es oft so, dass nicht die gesamte von A₁ ausgehende Wärmestrahlung auf die empfangende Fläche A₂ auftrifft und umgekehrt. Für die Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen diesen Flächen muss also ermittelt werden, welcher Betrag der beispielsweise von A₁ insgesamt emittierten Energie auf die Fläche A₂ trifft und dort absorbiert wird.

Setzt man den Strahlungsfluss, der von einer endlich großen, diffus strahlenden Fläche mit konstanter Energiestromdichte A₁ ausgeht und auf die Fläche A2 trifft, ins Verhältnis zum Strahlungsfluss, der von der Fläche A₁ in den Halbraum emittiert wird, erhält man den nur von geometrischen Größen abhängenden, dimensionslosen Sichtfaktor F₁₂

Der Sichtfaktor F₁₂ beschreibt den von Fläche A₁ ausgehenden Anteil der Strahlung, der die Fläche A₂ erreicht. Der übrige Anteil trifft zu anderen Körpern gehörige Flächen oder wird in den darüber aufgespannten Halbraum emittiert.

Analog folgt der dimensionslose Sichtfaktor F₂₁ für den von A₂ ausgehenden Strahlungsfluss, der die Fläche A₁ trifft, zu

mit der Reziprozitätsbeziehung

Der Nettowärmestrom, der ausgehend von A1 die Fläche A₂ erreicht, ist dann bestimmbar aus:

und unter Verwendung der Reziprozitätsbeziehung folgt

und schließlich auf:   .

Für die Strahlungsaustauschkonstante C₁₂ ist definitionsgemäß anzusetzen:  

Die Bestimmung der Sichtfaktoren für konkrete, in der Praxis interessierende Fälle sind rein mathematische Lösungen der jeweiligen geometrischen Probleme und erfordern mitunter einen erheblichen Aufwand. Die Beschaffung der Sichtfaktoren ist eine der wichtigsten Herausforderungen für die Berechnung des Strahlungsaustausches. Dabei handelt es sich um rein geometrische Beziehungen, die für technisch häufig vorkommende Konstellationen schon ausgewertet in der Literatur dokumentiert sind. Als Beispiele stellen wir hier zwei in Abbildung 20 skizzierte Fälle vor.

1. zwei kongruente, sich exakt parallel gegenüberliegende Rechteckflächen
   

   Expertentipp

   Beachte den Unterschied zu zwei sich gegenüberliegenden unendlich ausgedehnten ebenen Flächen!

   Methode

2. zwei parallele Kreisscheiben mit gemeinsamer Mittelsenkrechten
   

   Methode