Arbeit

Arbeit  ist in der Physik die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird. Man sagt: „An dem Körper wird Arbeit verrichtet". Arbeit wird an einem Körper verrichtet, wenn eine Kraft längs eines Weges auf ihn einwirkt. 

Arbeit wird in der Mechanik definiert als das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor: 

Das Skalarprodukt berücksichtigt, dass nur der Kraftanteil mit dem ihm gleich gerichteten Weg multipliziert wird:

Mathematisch: Projiziert man den Vektor auf den Vektor , so ergibt sich ein Vektor . Der neue Vektor (roter Vektor in der obigen Grafik) besitzt die Länge . Multipliziert man diese Länge mit (Länge des Vektors ) , so erhält man die Arbeit .

Für die Berechnung der Arbeit wird nur derjenige Kraftanteil berücksichtigt, welcher in Richtung des Weges wirkt. Für die obige Grafik bedeutet dies, dass nur der Teil der Kraft berücksichtigt wird, welcher in Richtung des Wegvektors wirkt. Dieser Kraftanteil entspricht der Projektion von auf und besitzt die Länge . 

Wirkt die gesamte konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge  da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist. Die Arbeit wird dann positiv. Physikalisch: Dem Körper wird Arbeit und damit Energie zugeführt.

Ist die Richtung der Kraft hingegen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, dann bilden Kraftvektor und Wegvektor einen 180° Winkel, dessen Kosinus den Wert -1 annimmt (). Die Arbeit wird dann negativ. Physikalisch bedeutet dies, dass an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet wird und diesem damit Energie entzogen wird. 

Sind Kraftvektor und Wegvektor senkrecht zueinander, so wird im physikalischen Sinn keine Arbeit verrichtet ().

Die Länge eines Vektors wird mittels Satz des Pythagoras berechnet zu:

Bei nicht geradlinigen Wegen und nicht konstanten Kräften ist die Arbeit das Kurvenintegral über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg:

Für ein Kräftepaar mit dem Momentenvektor ergibt sich die Arbeit zu:

Und bei nicht konstantem Moment bzw. bei nicht konstantem Winkel ergibt sich:

Beispiel: Berechnung der Arbeit

Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor. In der Aufgabenstellung sind aber nicht Vektoren, sondern die Beträge und damit die Längen angegeben:

Anwendung der obigen Formel führt zu:

Bei der obigen Formel ist der horizontale Kraftanteil der Kraft . Es darf nur der Kraftanteil betrachtet werden, welcher in Richtung des Weges zeigt.

Alternativ kann man hier auch zunächst die Kraft in die Komponente zerlegen, welche in Richtung des Weges zeigt (hier horizontal):

.

Die Kraft und der Weg sind nun gleichgerichtet, der Winkel zwischen ihnen ist also 0. Da ergibt sich demnach:

Beispiel: Arbeit als Vektor

Wir können nun das Skalarprodukt anwenden:

.

Die Arbeit, die verrichtet wird, beträgt 155 J.