Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

Zunächst bestimmen wir für das Ausgangssystem die Schnittgrößenverläufe (Normalkraft und Biegemoment).

Auflagerkräfte bestimmen

Zunächst bestimmen wir die Auflagerreaktionen des Systems:

Die Auflagerkräfte und können aus den Momentengleichgewichtsbedingungen berechnet werden, weil diese auf derselben Höhe liegen und damit die Auflagerkräfte und herausfallen:

Als Nächstes müssen wir die horizontalen Kräfte und berechnen. Diese können berechnet werden, indem der Rahmen im Gelenk freigeschnitten wird und wir einen der Teilrahmen zur Berechnung verwenden. Wichtig ist hierbei, dass die Streckenlast links und rechts vom Gelenk gegeben ist und damit auch auf beiden Seiten berücksichtigt werden muss. Hier bilden wir die Resultierenden der Streckenlast an den jeweiligen Teilbalken:

Wir wählen einen der Teilbalken und legen den Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung in das Gelenk. So müssen wir nicht extra die Gelenkkräfte bestimmen.

Rechter Teilbalken:

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung am Gesamtsystem ergibt sich:

.

Zusammenfassung der Auflagerkräfte:

Schnittgrößen bestimmen

Als Nächstes berechnen wir den Normalkraftverlauf und den Momentenverlauf. Wir müssen am Rahmen drei Schnitte zwischen a-b, b-c und c-d durchführen und tragen für jeden Schnittbereich die Laufkoordinaten und ab. Dabei orientieren wir uns an der gestrichelten Faser. Die x-Achse verläuft immer parallel zur gestrichelten Faser, die z-Achse senkrecht dazu:

Für den 1. Schnitt werden die Gleichgewichtsbedingungen in -Richtung und -Richtung zur Berechnung der Schnittgrößen betrachtet. Die Auflagerkräfte und , welche innerhalb dieses Schnittbereichs liegen, zeigen nicht in Richtung einer dieser Achsen. Wir müssen hier also eine Kräftezerlegung von und in Richtung der - und -Achsen vornehmen, damit wir diese innerhalb der Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigen können. Wir benötigen hierzu die Winkel von und zur Balkenachse. Um diese bestimmen zu können, betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck:

Der Winkel beträgt:

Dies ist der Winkel von der Balkenachse zur Horizontalen. Da die Auflagerkraft eine Horizontalkraft darstellt, kann diese mit dem Winkel von 56,31° in Richtung der -Achsen zerlegt werden.

Da die Auflagerkraft eine vertikale Kraft darstellt, suchen wir den Winkel von der Balkenachse zur Vertikalen. Ein Dreieck hat 180°. Bei einem rechtwinkligen Dreieck (mit 90° Winkel) ergibt sich dann:

Mithilfe dieses Winkels kann die Kraft in Richtung der -Achse und -Achse zerlegt werden.

Für die Kräftezerlegung ist es sinnvoll das betrachtete Koordinatensystem zu skizzieren und die Kraft, die zerlegt werden soll, mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung zu legen und die berechneten Winkel einzutragen. Es wird so gleich deutlich in welche Richtung die Kraftkomponenten wirken (in Richtung der negativen oder positiven Achsen):

Wir können die Kräfte noch zusammenfassen. Die Summe der Kräfte in Richtung der -Achse ergeben:

.

Die Summe der Kräfte in -Richtung ergeben:

.

Die Kraftkomponenten von in -Richtung wird negativ, weil sie in Richtung der negativen -Achse wirkt. Die Summe der Kräfte in -Richtung wird dadurch negativ, d. h. sie zeigt in Richtung der negativen -Achse.

1. Schnittbereich

In der obigen Grafik sind die Schnittgrößen (Normalkraft, Biegemoment) sowie die zerlegten und summierten Auflagerkräfte eingezeichnet. Wir bestimmen mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen die beiden Schnittgrößen:

2. Schnittbereich

Beim 2. Schnittbereich können die Auflagerkräfte und wieder ohne Zerlegung betrachtet werden, da die beiden Auflagerkräfte in Richtung der -Achsen wirken.

Für die Berechnung der Schnittgrößen kann das Gelenk vernachlässigt werden, d. h. es wird vor oder nach dem Gelenk geschnitten und dieses nicht weiter beachtet. Da es sich um ein Momentengelenk handelt, nimmt die Momentengleichgewichtsbedingung an der Stelle, an welcher sich das Gelenk befindet den Wert Null an.

Die Teilresultierende der rechteckigen Streckenlast muss gebildet werden. Diese ergibt sich, durch Höhe mal Länge. Die Länge ist in diesem Fall , weil die Länge des Balkens und damit der wirkenden Streckenlast abhängig davon ist, an welcher Stelle der Schnitt durchgeführt wird. Diese wirkt im Schwerpunkt der Teilstreckenlast, bei der Hälfte der Länge . Dies ist auch gleichzeitig der Hebelarm der Resultierenden zum Schnitt.

Probe: Gelenk an der Stelle :

Da das Momentengelenk keine Momente überträgt, wird die Momentengleichung an der Stelle zu Null.

3. Schnittbereich

Hier betrachten wir das rechte Schnittufer.

Es ist ebenfalls möglich das linke Schnittufer zu wählen, dann muss aber die Laufkoordinate genau entgegengesetzt gerichtet sein und beginnt im Punkt c (siehe Aufgabenstellung). Da bei Wahl des linken Schnittufers die Streckenlast sowie die Auflagerkräfte und in die Berechnungen eingehen müssen, ist die Wahl auf das rechte Schnittufer gefallen (die Berechnung fällt einfacher aus).

Zusammenfassung der Schnittgrößenverläufe

Grafische Schnittgrößenverläufe

Es sind alle Schnittgrößen berechnet. Als Nächstes können wir die Schnittgrößenverläufe einzeichnen:

Der Normalkraftverlauf ist in jedem Schnittbereich konstant und negativ. Die negativen Schnittgrößenverläufe werden oberhalb der Achsen abgetragen (in Richtung der negativen z-Achsen).

Der Biegemomentverlauf ist im ersten Bereich linear und positiv. Wir setzen die Randwerte in den Momentenverlauf ein und erhalten so die Gerade:

Lager bei :

Punkt b bei : .

Im zweiten Bereich ist der Momentenverlauf eine quadratische Parabel. Dies wird auch an der rechteckigen Streckenlast deutlich. Ist eine rechteckige Streckenlast gegeben, so ist der Querkraftverlauf linear und der Momentenverlauf eine quadratische Parabel. Wir setzen auch hier die Randwerte ein:

Im Punkt b bei :

Im Punkt c bei :

Der Biegemomentverlauf im Punkt b ist für den 1. und 2. Bereich identisch.

Da bei ein Momentengelenk gegeben ist, welches keine Momente überträgt, ist hier der Momentenverlauf Null. Wir haben also einen Nulldurchgang des Momentenverlaufs an dieser Stelle gegeben. Damit wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ. 

Der Biegemomentverlauf des dritten Bereichs ist wieder linear. Wir berechnen die Randwerte:

Im Punkt c bei :

Im Lager bei :

Der Biegemomentverlauf im Punkt c ist für den 2. und 3. Bereich identisch.

Hier unbedingt darauf achten die -Werte richtig einzusetzen. Da wir die -Achsen im Lager beginnend abgetragen haben, gilt im Lager D und am Ende des zweiten Bereichs im Punkt c .

Virtuelles System

Wir sollen die vertikale Verschiebung des Gelenks infolge der äußeren Streckenlast bestimmen. Dazu müssen wir ein virtuelles System aufstellen, in welchem wir eine Kraft in Richtung der Verschiebung ansetzen:

Die Aufgabenstellung fordert die Berechnung der vertikalen Verschiebung im Gelenk (Punkt g). Es wird eine Einheitskraft mit dem Betrag von (Einheit entsprechend der Einheiten der anderen Kräfte) in Richtung der Verschiebung abgetragen. In diesem Beispiel ist klar erkennbar, dass infolge der Streckenlast die vertikale Verschiebung des Gelenks nach unten erfolgt.

Der Überstrich über der soll deutlich machen, dass hier das virtuelle System betrachtet wird. Im virtuellen System werden die Auflagerkräfte übernommen (nur die Richtungen, nicht die Beträge), die äußeren Kräfte (hier: Streckenlast) werden nicht übernommen.

Für das virtuelle System sind als Nächstes die Schnittgrößenverläufe notwendig. Hierfür müssen wir zunächst die Lagerkräfte bestimmen.

Lagerkräfte bestimmen

Die Auflagerkräfte und können aus den Momentengleichgewichtsbedingungen berechnet werden, weil diese auf derselben Höhe liegen und damit die Auflagerkräfte und herausfallen:

Als Nächstes müssen wir die horizontalen Kräfte und berechnen. Diese können berechnet werden, indem der Rahmen im Gelenk freigeschnitten wird und wir einen der Teilrahmen zur Berechnung verwenden.

Wir wählen einen der Teilbalken und legen den Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung in das Gelenk. So müssen wir nicht extra die Gelenkkräfte bestimmen.

Rechter Teilbalken:

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung am Gesamtsystem ergibt sich:

.

Zusammenfassung der Auflagerkräfte im virtuellen System (mit Überstrich um diese von den Auflagerkräften des Gesamtsystems abzugrenzen):

Schnittgrößen berechnen

In einem nächsten Schritt müssen die Schnittgrößen bestimmt werden. Hierzu müssen die folgenden Schnitte durchgeführt werden:

Wir wählen wir den I. und II. Schnitt das linke Schnittufer und für den III. und IV. Schnitt das rechte Schnittufer. Die Laufkoordinaten sind dann wie folgt gegeben:

1. Schnitt

Für den 1. Schnitt müssen die Auflagerkräfte und wieder in Richtung der -Achsen zerlegt werden (Winkelberechnung siehe oben):

Wir können die Kräfte noch zusammenfassen. Die Summe der Kräfte in Richtung der -Achse ergeben:

.

Die Summe der Kräfte in -Richtung ergeben:

.

Die Kraftkomponenten von in -Richtung wird negativ, weil sie in Richtung der negativen -Achse wirkt.

Wir können als Nächstes die Schnittgrößen des 1. Schnittbereichs berechnen:

2. Schnitt

Schnitt 3

Schnitt 4

Zusammenfassung der Schnittgrößen im virtuellen System:

Grafische Schnittgrößenverläufe

Als nächstes werden die grafischen Schnittgrößenverläufe eingezeichnet:

Verschiebung berechnen

Nachdem die Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems und des virtuellen Systems bestimmt wurden, können wir als nächstes die vertikale Verschiebung am Gelenk bestimmen. Hierzu verwenden wir die folgenden Gleichungen:

ist die äußere Verschiebungsarbeit infolge der virtuellen Kraft auf dem Verschiebungsweg . Dabei ist die gesuchte vertikale Verschiebung im Gelenk.

ist die innere Verschiebungsarbeit der inneren virtuellen Kräfte (Schnittgrößen etc.).

Es gilt der Arbeitssatz:

Und damit ergibt sich:

Es sind nur die beiden Terme mit der Normalkraft und dem Biegemoment relevant. Alle anderen Terme fallen aus der Berechnung raus.

Wichtig ist, dass die obige Gleichung auf alle Schnittbereiche angewendet werden muss. Dazu führen wir das Summenzeichen ein:

Damit ergibt sich:

Das Ausgangssystem weist im Gegensatz zum virtuellen System nur 3 Schnittbereiche auf. Wir müssen demnach für das Ausgangssystem auch vier Schnittbereiche betrachten (dieselben wir für das virtuelle System). Da wir die obigen Integrale mittels Koppeltafel lösen, können wir uns komplett an den grafischen Schnittgrößenverläufen orientieren und die Aufteilung in vier Schnittbereiche des Ausgangssystems (Schnittbereich 2 wird in eins vor und eins nach dem Gelenk aufgeteilt) ist unproblematisch.

Berechnen von und aus der Aufgabenstellung:

, ,

 
Wir haben hier die Kräfte in kN und die Momente in kNm berechnet. Demnach müssen wir die Dehnsteifigkeit und die Biegesteifigkeit dieser Einheit anpassen.

 
Demnach:

Anwendung der Koppeltafel

Es ist sinnvoll die Integrale mittels Koppeltafel zu lösen, weil hier nur die grafischen Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems und des virtuellen Systems betrachtet werden müssen und wir aus der Koppeltafel die Ergebnisse der Integration ablesen können.

Zunächst betrachten wir die Normalkraftverläufe von Ausgangssystem und virtuellen System.

1. Schnittbereich

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -22,65

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,293

Wir müssen nun den rechteckigen Verlauf in Zeile und Spalte suchen. Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1. Die Werte innerhalb der Koppeltafel übernehmen wir:

Dabei ist die Länge des betrachteten Schnittbereichs (hier: 3,61m), die Höhe des einen Rechtecks und die Höhe des anderen Rechtecks.

Die Dehnsteifigkeit ist innerhalb der Koppeltafel nicht berücksichtigt, diese müssen wir also zusätzlich einfügen:

Einsetzen von :

2. Schnittbereich (von Punkt b bis g)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -10,83

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,278

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

3. Schnittbereich (von Punkt g bis c)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -10,83

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,278

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

4. Schnittbereich (von Punkt c bis d)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -40

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,833

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

Als nächstes betrachten wir den Biegemomentverlauf.

1.Schnittbereich

Ausgangssystem: dreieckiger Verlauf mit Höhe 7,51

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,502

Wir finden diese in Zeile 2 und Spalte 2 (beiden Dreiecke haben die Höhe auf derselben Seite):

2. Schnittbereich (von Punkt b bis g)

Ausgangssystem: parabelförmiger (quadratischer konkaver) Verlauf mit Höhe 7,51

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,502

Wir finden diese in Zeile 5 (parabelförmig quadratisch konkav) und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):

3. Schnittbereich (von Punkt g bis c)

Ausgangssystem: parabelförmiger (quadratischer konvexer) Verlauf mit Höhe -32,49

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,834

Wir finden diese in Zeile 6 (parabelförmig quadratisch konvex) und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):

4. Schnittbereich (von Punkt c bis d)

Ausgangssystem: dreieckiger Verlauf mit Höhe -32,49

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,834

Wir finden diese in Zeile 2 und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):

Die berechneten Werten einsetzen in die Arbeitsgleichung:

Auflösen nach ergibt die Verschiebung an der Stelle in vertikaler Richtung:

Da das Ergebnis positiv ist, erfolgt die Verschiebung in Richtung der -Kraft, also vertikal nach unten um 0,706 mm$