Wir haben im vorangegangenen Abschnitt die Differentialgleichung der Biegelinie 2. und 4. Ordnung hergeleitet. Die dort aufgestellte Differentialgleichung gibt die Durchbiegung des Balkens in Abhängigkeit von
Merke
Wir betrachten in diesem Abschnitt also den Beitrag des Schubs zur Balkenverformung.
Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab (vorheriger Abschnitt):
Methode
Der Index
Methode
Wie groß ist der Fehler, wenn der Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt wird?
Neben der Durchbiegung des Balkens infolge Biegespannungen haben auch die auftretenden Schubspannungen (ausgehend von einer Querkraftbiegung) Auswirkungen auf die Durchbiegung des Balkens. Wir haben bereits im Abschnitt Querkraftbiegung das Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung aufgeführt:
Methode
Dort haben wir auch herausgefunden, dass die mittlere Gleitung
Die mittlere Gleitung kann ebenfalls durch die Querkraft, die Fläche
Methode
mit
Dabei ist
Gleichsetzen der Gleitungen führt zu:
Auflösen nach
Hierbei ist
Das Produkt aus dem Schubmodul
Methode
Dabei berücksichtigt
Unter Berücksichtigung der Schubsteifigkeit ergibt sich für die Differentialgleichung der Biegelinie 1. Ordnung infolge Schub:
Methode
mit
Bei zusätzlicher Berücksichtigung des Schubanteil
Es ergibt sich demnach:
Methode
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