Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird auf die Balkenverformung infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:
Methode
Es wurde hier nun der Index
In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet.
Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die Betrachtung beschränkt sich hierbei auf Schubspannungen infolge von gerader Biegung. Im Folgenden werden die Gleichungen aus dem Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie herangezogen:
Einsetzen der zweiten Gleichung in die dritte Gleichung:
Auflösen nach
Methode
mit
Fasst man nun alle bisherigen Erkenntnisse zusammen, liefern diese:
Methode
Es gilt außerdem:
Die Ableitung der Durchbiegekurve
Methode
Diese Gleichung zeigt, dass sich die gesamte Balkenbiegung aus einem reinen Biegeanteil und einem Schubanteil zusammensetzt. Die nachfolgende Gleichung beschreibt diesen Zusammenhang für die Durchbiegung erneut:
Methode
mit
Die Durchbiegung aufgrund des Biegemoments
Methode
Zur Erinnerung:
Die Durchbiegung infolge der Querkraft wird wie folgt bestimmt:
Methode
Beispiel: Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
Beispiel
Reiner Biegeanteil
Diese Gleichung für den maximalen reinen Biegeanteil kann entsprechend des vorliegenden Falls passend aus der Tabelle im Anhang (Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen) entnommen werden. In der Tabelle ist gegeben:
Da hier die Kraft
Schubanteil
Um nun auch den zweiten Anteil, also den Schubanteil bestimmen zu können, muss dieser mit Hilfe von Integration hergeleitet werden:
Ausgehend von der obigen Gleichung ist bekannt, dass
Der neue Index
Die Integrationskonstante
Die Querkraft kann bestimmt werden, indem als erstes die Lagerkräfte am ungeschnittenen Balken (Grafik a) bestimmt werden. Danach wird ein Schnitt in der Mitte (dort wo die Kraft
Schnitt in der Mitte:
(Man darf bei dem Schnitt im Abstand
Daraus folgt für die Durchbiegung
Mit dieser Gleichung und der vorher bestimmten Gleichung für den Biegeanteil erhält man schließlich die Gleichung für die Gesamtdurchbiegung:
Da die Kraft in der Balkenmitte angreift, wird für
Methode
Trägheitsradius und Schlankheitsgrad
Formt man die obige Gleichung um, so erkennt man, dass der Zusatzterm vom Verhältnis zwischen Biegesteifigkeit zu Schubsteifigkeit geprägt wird und zudem die Länge des Balkens Auswirkungen auf die Höhe des Schubverformungsanteils hat. Dieser wird durch eine Erhöhung der Länge (
Gleichzeitig lässt sich das Verhältnis von Flächenträgheitsmoment und Fläche durch den Trägheitsradius
Methode
Ergänzt wir dies zusätzlich durch den Schlankheitsgrad
Methode
Durchbiegung
Übernimmt man diese drei Gleichungen und überträgt sie in Gleichung der Durchbiegung, so ändert sich letztere zu:
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