Gesamtkrümmung

Wir wollen uns als Nächstes die Krümmung näher anschauen. Aus dem vorherigen Abschnitt haben wir die Krümmung bestimmt zu:

Setzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung   in das Hookesche Gesetz ein so erhalten wir:   

 
Auflösen nach und einsetzen von ergibt dann:

 
Mit Einsetzen der linearen Spannungsverteilung erhalten wir dann die Krümmung in Abhängigkeit vom Moment um die y-Achse:

Biegemoment und Krümmung sind proportional zueinander. Der Proportionalitätsfaktor ist die Biegesteifigkeit .

Dabei ist die Krümmung infolge des auftretenden Biegemoments .

Krümmung infolge Temperaturdifferenz

Tritt zusätzlich zur reinen Biegung eine Temperaturdifferenz auf, so wird zwischen oberer und unterer Balkenseite ein zusätzlicher Krümmungsanteil erzeugt. 

In der folgenden Grafik sei der Temperaturverlauf eines Balkens gegeben. Die Ausgangstemperatur befindet sich dabei auf der Schwereachse. Am oberen Rand herrscht die Temperatur und am unteren Rand die Temperatur . Die Höhe des Balkens betrage :

Der Temperaturverlauf kann näherungsweise als linear angenommen und in zwei Teile zerlegt werden:

In der obigen Grafik ist der Temperaturverlauf in zwei Teile zerlegt worden. Diese beiden Anteile werden miteinander addiert und es resultiert wieder der Ausgangsverlauf.

Aufgrund der Temperaturdifferenz erfolgt eine konstante Dehnung im gesamten Querschnitt. Wir haben diesen Zusammenhang bereits im Abschnitt thermische Dehnung / Gesamtdehnung behandelt:

In Abhängigkeit von ergibt sich:

Der lineare Temperaturverlauf ist gegeben zu:

Einsetzen ergibt:

Auf Höhe der Schwereachse (z = 0) ist der lineare Anteil der Dehnung gleich Null.

Wir betrachten als nächstes die Dehnung mit und Krümmung und setzen die Krümmung in die Dehnung ein:

Auflösen nach und einsetzen der Dehnung infolge einer Temperaturänderung ergibt:

Die gesamte Krümmung ergibt sich aus der Krümmung aufgrund der reinen Biegung und der Krümmung infolge einer Temperaturänderung zu:

Beispiel: Krümmung eines Balkens

Lösung:

Die Krümmung der Balkenachse ohne Temperaturunterschiede ergibt sich zu:

Zur Bestimmung der Krümmung wird das Biegemoment benötigt. Dieses kann aus den Schnittgrößen bestimmt werden. Bevor wir mit der Bestimmung des Biegemoments beginnen können, müssen zunächst die Auflagerkräfte berechnet werden:

Aus den Gleichgewichtsbedingungen können wir die Auflagerkräfte berechnen:

(1)

(2)

(3)

Aus (3):

Aus (2):

Nachdem die Auflagerkräfte berechnet wurden, kann als nächstes das Biegemoment bestimmt werden:

Wir haben hier das linke Schnittufer gewählt, damit wird das Biegemoment als linksdrehend (positiv) angenommen. Aus der Momentengleichgewichtsbedingung können wir dieses dann berechnen:

Es kann als nächstes die Krümmung bestimmt werden (allgemein):

 Einsetzen der Werte:

Für die Balkenmitte zum Beispiel, ergibt sich dann eine Krümmung von: