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Ähnlich wie bei einer Belastung durch eine äußere Zugkraft, dehnt sich ein Körper unter Wärmeeinfluss aus. Alle Stoffe ändern ihr Volumen in Abhängigkeit von der Temperatur. Üblicherweise dehnt sich ein Körper beim Erwärmen in alle Richtungen gleich aus (es gibt Ausnahmen). Mittels Experimenten hat man herausgefunden, dass bei gleichförmiger Erwärmung von Stäben, die thermische Dehnung
Methode
mit
Der thermische Ausdehnungskoeffizient
Materialbezeichnung | E-Modul in kN/mm² | |
Ferritischer Stahl | 210 | 12 . 10-6 |
Kupfer | 130 | 16 . 10-6 |
Blei | 19 | 26 . 10-6 |
Glas | 70 | 0,1 . 10-6 -9,0 . 10-6 |
Beton | 22-45 | 1 . 10-6 |
Thermische Dehnungen sind reversibel, d.h. nach Rückkehr in die Ausgangstemperatur verschwinden die thermischen Verformungen wieder. Ist allerdings der betrachtete Werkstoff beim Erwärmen behindert, z.B. durch Auflager, so können sich die thermischen Verformungen nicht ungehindert ausbreiten. Dies führt dazu, dass thermische Spannungen hervorgerufen werden. Diese Wärmespannungen bewirken mechanische Verformungen, d.h. elastische oder plastische Dehnungen. Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass es sich um rein-elastische (keine plastischen) Verformungen
Gesamtdehnung
Liegt nun eine Dehnungsbehinderung des Werkstoffes bei der Erwärmung vor, so muss neben der Wärmedehnung die elastische Dehnung berücksichtigt werden. Man kann dann die Gesamtdehnung durch Addition der beiden Anteile ermitteln:
Es ergibt sich mit
die folgende Gesamtdehnung:
Methode
Unter Berücksichtigung von
Methode
Die Spannung ergibt sich durch Umstellen der obigen Gleichung wie folgt:
Methode
Aus der Gleichung wird deutlich, dass sich die Spannung um den thermischen Anteil vermindert.
Merke
Anwendungsbeispiel: Wärmedehnungen
Beispiel
Gegeben sei der oben abgebildete Stab aus ferritischem Stahl, welcher durch die Kraft
Gegeben:
Wie groß ist die Längenänderung
Die Längenänderung
Umstellen nach
Um die Längenänderung zu bestimmen, muss die Dehnung zunächst berechnet werden. Diese ergibt sich zu:
Die Temperatur steigt mit zunehmendem
Die Steigung
Die allgemeine Geradengleichung ergibt sich zu:
In diesem Fall:
Methode
Da nun der Temperaturverlauf gegeben ist, kann dieser in die Gleichung für die Gesamtdehnung eingesetzt werden:
Als nächstes wird die Normalspannung
Die Normalkraft
Die Spannung bestimmt sich also zu:
Eingesetzt in die Gleichung für die Gesamtdehnung:
Alle übrigen bekannten Werte einsetzen (Achtung: Umrechnung von
Es ergibt sich also eine Dehnung, welche abhängig von
Methode
Einsetzen der Dehnung in die Formel:
Integration:
Einsetzen von
Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.
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