Thermische Dehnung / Gesamtdehnung

Ähnlich wie bei einer Belastung durch eine äußere Zugkraft, dehnt sich ein Körper unter Wärmeeinfluss aus. Alle Stoffe ändern ihr Volumen in Abhängigkeit von der Temperatur. Üblicherweise dehnt sich ein Körper beim Erwärmen in alle Richtungen gleich aus (es gibt Ausnahmen). Mittels Experimenten hat man herausgefunden, dass bei gleichförmiger Erwärmung von Stäben, die thermische Dehnung proportional zur Temperaturänderung steht:

Der thermische Ausdehnungskoeffizient ist eine Werkstoffkonstante und wird in der Einheit angegeben. In der nachfolgenden Tabelle finden sich einige Wärmedehnungskoeffizienten für verschiedene Werkstoffe:

Thermische Dehnungen sind reversibel, d. h. nach Rückkehr zur Ausgangstemperatur verschwinden die thermischen Verformungen wieder. Ist allerdings der betrachtete Werkstoff beim Erwärmen behindert, z. B. durch Auflager, so können sich die thermischen Verformungen nicht ungehindert ausbreiten. Dies führt dazu, dass thermische Spannungen hervorgerufen werden. Diese Wärmespannungen bewirken mechanische Verformungen, d. h. elastische oder plastische Dehnungen.

Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass es sich um rein-elastische (keine plastischen) Verformungen  handelt, für die das Hookesche Gesetz gilt. Das bedeutet also, dass zusätzlich zu den Wärmedehnungen noch die bereits bekannten elastischen Dehnungen auftreten, sobald der Werkstoff behindert wird.

Thermische Dehnungsbehinderung

Liegt nun eine Dehnungsbehinderung des Werkstoffes bei der Erwärmung vor, so muss neben der Wärmedehnung die elastische Dehnung berücksichtigt werden. Man kann dann die Gesamtdehnung durch Addition der beiden Anteile ermitteln:

Es ergibt sich mit

die folgende Gesamtdehnung:

Setzen wir nun ein, so erhalten wir:

Hierbei ist die Dehnsteifigkeit. Diese Formulierung gilt für die freie Querkontraktion des Querschnitts.

Es ist zudem möglich die Spannung  durch Umstellen und Auflösen zu ermitteln, wenn die anderen Faktoren gegeben sind. Es ergibt sich:

Aus der Gleichung wird deutlich, dass sich die Spannung um den thermischen Anteil vermindert.

Beispiel: Wärmedehnungen

Die Längenänderung des Stabes bestimmt sich aus der Gleichung:

Umstellen nach ((Hier: ):

Um die Längenänderung zu bestimmen, muss die Dehnung zunächst berechnet werden. Diese ergibt sich zu:

Die Temperatur steigt mit zunehmendem linear an, bis sie ihr Maximum bei erreicht hat. Um den Temperaturverlauf zu bestimmen, muss die Gerade (blau) bestimmt werden:

Die Steigung ist: nach rechts und nach oben

Die allgemeine Geradengleichung ergibt sich zu:

   wobei die Steigung und den Beginn auf der Ordinate darstellt.

In diesem Fall:

Da nun der Temperaturverlauf gegeben ist, kann dieser in die Gleichung für die Gesamtdehnung eingesetzt werden:

Als Nächstes wird die Normalspannung bestimmt, indem der Stab geschnitten wird:

Die Normalkraft kann entweder anhand des rechten oder des linken Stabelements berechnet werden. Da die Auflagergrößen für die Einspannung nicht bekannt sind, wird die rechte Seite zur Berechnung verwendet:

Die Spannung bestimmt sich also zu:

Eingesetzt in die Gleichung für die Gesamtdehnung:

Alle übrigen bekannten Werte einsetzen (Achtung: Umrechnung von in ):

.

Es ergibt sich also eine Dehnung, welche abhängig von ist (örtliche Dehnung):

Einsetzen der Dehnung in die Formel:

Integration:

Einsetzen von :

Die Verlängerung des Stabes beträgt 0,000319 m.