Inhaltsverzeichnis
Nachfolgend eine sinnbildliche Fotomontage einer Hochhaus-Torsion:
Eine Torsionsbeanspruchung liegt vor, wenn ein Bauteil wie Stab oder Welle durch ein Moment (Drehmoment bzw. Torsionsmoment
- Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander, d. h. es findet keine Verzerrung der Querschnitte statt. Punkte, die sich vor der Verformung auf einer Geraden befanden, liegen auch nach der Verformung auf einer (anderen) Geraden. -> Querschnitte verformen sich nur um einen Winkel
. - Die Querschnitte bleiben trotz Torsion eben, d. h. es treten keine Querschnittsverwölbungen auf. Infolge der Torsion erfährt der Stab keine Verschiebung in Richtung der Längesachse (
-Richtung).
Außerdem:
- Die Berechnung liegt im Geltungsbereich des Hookeschen Gesetzes, d. h. also die Gleichung
ist proportional. - Spannungen liegen weiterhin im elastischen Bereich [keine nachhaltige plastische Verformung],
- Spannungsüberhöhungen infolge von Löchern oder Kerben können unter Verwendung von Kerbfaktoren in der Rechnung berücksichtigt werden.
Hinweis
In den nachfolgenden Berechnungen werden die Herleitungen an einem Kreisquerschnitt durchgeführt.
Der erste Untersuchungsgegenstand bei der Untersuchung von Torsion ist eine Welle mit einem konstanten Querschnitt über die gesamte Länge. Es handelt sich um eine Vollwelle, die an beiden Seiten durch das Torsionsmoment
Merke
Das Torsionsmoment
Führt man nun einen senkrechten Schnitt durch die Welle, so liegt an dieser Stelle ausschließlich das innere Torsionsmoment
Gegenstand dieser Untersuchung ist die Ermittlung der Spannungsverteilung im Inneren, die Verformung und die Verdrehung der Wellenenden gegeneinander.
Merke
Die Berechnung wird in drei Teile zerlegt:
Statik (Gleichgewichtsbedingungen), kinematische Gleichungen (Verformungen) und das Stoffgesetz (Hookesches Gesetz).
Gleichgewichtsbedingungen
Die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung in
Es folgt:
Methode
Kinematische Gleichungen
Aus den oben getroffenen Annahmen, dass die Querschnitte unverformt und eben bleiben, kann man Folgendes ableiten:
Wir betrachten ein herausgeschnittenes Element der Länge
- Die 1. Annahme führt dazu, dass sich ein beliebiger Punkt im Querschnitt auf einer Kreisbahn um die Drehachse verschiebt. Die Drehachse verläuft durch den Kreismittelpunkt.
- Ein Punkt leg, t auf der rechten Querschnittsfläche der entnommenen Scheibe, einen Weg
zurück, analog dazu auf der linken Querschnittsfläche in entgegengesetzter Richtung. steht hierbei für einen beliebigen Radius. - Alternativ lässt sich der Weg eines Punktes auch mithilfe des Winkels
bestimmen. Siehe hierzu die obige Abbildung. Es gilt: .
Stellt man diese Gleichung um, erhält man:
Auf der linken Seite der Gleichung steht nun der Ausdruck für die Ableitung des Verdrehwinkels
Methode
Der Zusammenhang zwischen Gleitwinkel
Merke
Diese Gleichung zeigt, dass eine Zunahme des Radius
Bestimmung der Verdrillung
Um nun eine genaue Aussage bezüglich der Schubspannung treffen zu können, ist es vorab notwendig die Verdrillung
Davon ausgehend, dass die Schubspannungen Momente hervorrufen, integriert man diese über die gesamte Kreisfläche. Als Resultat erhält man dann das resultierende Schnittmoment, welches dem äußeren Moment
Hierbei stellt der Ausdruck
Löst man diese Gleichung nun noch nach
Methode
mit
Es stellt sich nun heraus, dass die Verdrillung von drei Parametern abhängt:
1. Torsionsmoment
2. Materialparameter
3. Polares Flächenträgheitsmoment
Bestimmung der Schubspannung
Für die vom Radius abhängige Spannung erhält man durch Einsetzen von
in
den Ausdruck
Methode
Berechnung der Verdrehung
Wenn in einem zylindrischen Stab an jeder Stelle ein identisches Torsionsmoment wirkt, so ist die Verdrillung
Trennung der Veränderlichen:
Intergation, wobei
Methode
Für
Die Anfangsverdrehwinkel
Merke
Die Quintessenz ist somit, dass die Verdrehung linear zunimmt. Die Verdrehung von einer Wellenseite [
Die Differenz aus beiden Wellenenden wird beschrieben durch:
Setzt man nun noch den Ausdruck für die Verdrillung
Methode
Ist die spezifische Verdrehung (bzw. Verdrillung)
Einsetzen in (wobei
Ergibt:
Methode
Mittels Integration kann dann die Verdrehung an einer beliebigen Stelle bestimmt werden:
Methode
Bestimmung des polaren Flächenträgheitsmoments
Das polare Flächenträgheitsmoment ist nur dann veränderlich, wenn auch der Durchmesser der Welle variiert.
Für das polare Flächenträgheitsmoment gilt:
Methode
Bestimmung der Maximalspannung
Die maximale Spannung liegt am Rand der Welle. Davon ausgehend, dass der Radius die Länge
Methode
Widerstandsmoment
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der maximalen Spannung ist die Hinzunahme des Widerstandsmoments
Methode
mit
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