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Der erste Untersuchungsgegenstand bei der Untersuchung von Torsion ist eine Welle mit einem konstanten Querschnitt über die gesamte Länge. Es handelt sich um eine Vollwelle, die an beiden Seiten durch das Torsionsmoment
Führt man nun einen senkrechten Schnitt durch die Welle, so liegt an dieser Stelle ausschließlich das innere Torsionsmoment
Merke
Die Berechnung wird in drei Teile zerlegt:
Statik (Gleichgewichtsbedingungen), kinematische Gleichungen (Verformungen) und das Stoffgesetz (Hookesches Gesetz).
Vor dem Beginn der Berechnungen werden wieder Annahmen getroffen:
- Die Querschnitte bleiben unverformt.
- Die Querschnitte bleiben eben.
Aus den Annahmen kann man Folgendes ableiten:
1. Ein Punkt im Querschnitt verschiebt sich immer auf der Kreisbahn um die Drehachse, die durch den Kreismittelpunkt verläuft.
2. Nimmt man ein sehr dünnes Scheibchen [Dicke dx] aus der Welle heraus, so sieht man, dass sich die beiden Kreisflächen um einen Winkel
3. Ein Punkt legt auf der rechten Kreisfläche der entnommenen Scheibe einen Weg
4. Alternativ lässt sich der Weg eines Punktes auch mit Hilfe des Winkels
Es gilt:
Stellt man diese Gleichung um, erhält man:
Auf der linken Seite der Gleichung steht nun der Ausdruck für die Ableitung des Verdrehwinkels
Der Zusammenhang zwischen Gleitwinkel
Merke
Diese Gleichung zeigt, dass eine Zunahme des Radius
Bestimmung der Verdrillung
Um nun eine genau Aussage bezüglich der Schubspannung treffen zu können, ist es vorab notwendig die Verdrillung
Davon ausgehend, dass die Schubspannungen Momente hervorrufen, integriert man diese über die gesamte Kreisfläche. Als Resultat erhält man dann das resultierende Schnittmoment, welches dem äußeren Moment
Hierbei stellt der Ausdruck
Löst man diese Gleichung nun noch nach
Methode
mit
Es stellt sich nun heraus, dass die Verdrillung von drei Parametern abhängt:
1. Torsionsmoment
2. Materialparameter
3. Polares Flächenträgheitsmoment
Bestimmung der Schubspannung
Für die vom Radius abhängige Spannung erhält man durch Einsetzen von
in
den Ausdruck
Methode
Berechnung der Verdrehung
Wenn in einem zylindrischen Stab an jeder Stelle ein identisches Torsionsmoment wirkt, so ist die spezifische Verdrehung
Trennung der Veränderlichen:
Intergation, wobei
Methode
Wählt man nun eine Stelle
Die Anfangsverdrehwinkel
Merke
Die Differenz aus beiden Wellenenden wird beschrieben durch:
Setzt man nun noch den Ausdruck für die Verdrillung
Methode
Ist die spezifische Verdrehung (bzw. Verdrillung)
Einsetzen in (wobei
Ergibt:
Trennung der Veränderlichen:
Integration:
Methode
Bestimmung des polaren Flächenträgheitsmoments
Das polare Flächenträgheitsmoment ist nur dann veränderlich, wenn auch der Durchmesser der Welle variiert.
Für das polare Flächenträgheitsmoment gilt:
Methode
Bestimmung der Maximalspannung
Die maximale Spannung liegt am Rand der Welle. Davon ausgehend, dass der Radius die Länge
Methode
Widerstandsmoment
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der maximalen Spannung ist die Hinzunahme des Widerstandsmoments
Methode
mit
Beim Kreisquerschnitt entspricht
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