Komplexe Zahlen und Darstellungsformen

Um dich auf die komplexen Spannungen, Ströme, Widerstände und Leitwerte richtig einzustimmen, machen wir einen kleinen Exkurs in die Analysis und wiederholen komplexe Zahlen, sowie deren Darstellungsformen mit der Komponentenform und der Exponentialform. 

Komplexe Zahlen

In der nachfolgenden Abbildung siehst du eine Gaußsche Zahlenebene.

In dieser Zahlenebene sind auf der waagerechten Achse reelle Zahlen abgetragen und auf der senkrechten Achse imaginäre Zahlen. Die imaginären Zahlen sind definiert mit . Mit Hilfe dieser und der reellen Zahlen lassen sich komplexe Zahlen durch einen Punkt , einen Pfeil oder einem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt P darstellen. Hierbei unterscheiden wir zwei mathematische Darstellungsarten:

Komponentenform und Exponentialform

Komponentenform

Bei der Komponentenform wird die komplexe Zahl ausgedrückt durch die Gleichung:

Dabei ist der erste Term [] der Realanteil und der zweite Term [] der Imaginäranteil der komplexen Zahl .

Exponentialform

Hier wird die komplexe Zahl ausgedrückt durch folgende Gleichung:

Hierbei gelten für den Betrag und den Winkel von der positiven reellen Achse hin zum Strahl folgende Beziehungen:

Ausgehend von diesen Beziehungen und unter Verwendung der Eulerschen Gleichung lässt sich aus der Komponentenform die Exponentialform bilden. 

Ergänzend: Für die zu konjugierte komplexe Zahl gilt