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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Partielle Ableitung höherer Ordnung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Ableitung höherer Ordnung

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Lassen sich die Ableitungen und einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung.

Ableitungen 2. Ordnung: 

Sind die beiden Ableitungen und  stetig differenzierbar, so sind sie in jedem gewählten Punkt identisch also  = .

Merke

Hier klicken zum AusklappenMan beachte immer die Reihenfolge der Ableitungen! So wird zuerst partiell nach x abgeleitet und anschließend nach y. 

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenIn welcher Reihenfolge wird abgeleitet?

Zuerst leitet man die Funktion nach  ab, als Nächstes nach  und anschließend wieder mal nach  .

Ableitungen beliebiger [n-ter] Ordnung:

Bei mehrfacher partieller Ableitung spricht man wie bereits erwähnt von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung. Aus der formalen Schreibweise

ist ersichtlich, dass k-mal und (n-k)-mal abgeleitet wird, wobei .

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere Partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen. 

Anwendungsbeispiele

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die Funktion

1. Möglichkeit

Die Ableitung nach und dann nach :





Die Ableitung nach und dann nach :






= .

2. Möglichkeit

Oder man wählt und dann :





Und und dann :






= .

3. Möglichkeit

Man wählt und dann :





Man wählt und dann :






= .

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