Homogene Differentialgleichungen

Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form

besitzt.

Dass die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. 

Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung 

sein muss. 

Lösung homogener Differentialgleichungen

Zur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:

1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante

2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.

Die Wronski-Determinante

Es gilt: Sind die Funktionen auf - mal differenzierbar so heißt

Die Wronski Determinante von . 

Weiter gilt: Ist für eine Stelle , so sind linear unabhängig auf . 

Bei der Lösung der Differentialgleichung ist zu beachten:

Sind auf Lösungen der homogenen Differentialgleichung 

, 

so sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

1. sind auf linear unabhängig, das heißt sie bilden auf eine Lösungsbasis der obigen Differentialgleichung.

2. gilt für jedes . 

Das d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Voraussetzung: ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung 

.

Unter Anwendung des Produktansatzes erhält man nach der Substitution von eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für .

Ist nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist .

Dies bedeutet, dass eine von linear unabhängige Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. 

Für gilt demnach:

Ist eine Lösung von , so folgt daraus, dass 

und 

die Gesamtlösung der Differentialgleichung sind. 

Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung

Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass  eine Lösung ist. Setzt man für und für (1. Ableitung von ) und für (2. Ableitung von ) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.

Daraus folgt

.

Diese setzt man nun in die Differentialgleichung ein und erhält

[Ausmultiplizieren und Kürzen]

. Diese Differentialgleichung beinhaltet kein mehr. 

Somit ist also , eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für .

Mit Trennung der Veränderlichen ergibt sich:

Nun weiß man, dass eine von linear unabhängige Lösung ist.

Die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung ist folglich

.