Inhomogene Differentialgleichungen

Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung und der  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung besteht.  Sind die Lösungen der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. 

Grundlagen inhomogener Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung

und die homogene Differentialgleichung

Ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung so gilt:

Man berechnet also zuerst die Lösung der homogenen Differentialgleichung  und danach macht man den folgenden Ansatz zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

Variation der Konstanten

Nach diesem Ansatz ist

.

Dies liefert aus dem linearen Gleichungssystem für  

...

...

die Wronski Matrix, deren Determinante nirgends gleich Null ist, sofern stetig ist:

Cramersche Regel

Unter Anwendung der Cramerschen Regel erhält man nun

mit

Hierbei ist die bereits bekannte Wronski Determinante und eine Wronski Determinante, deren - te Spalte durch ersetzt wurde.

Die Integration liefert 

. 

Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit

. 

Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung

Lösungsgesamtheit homogene Differentialgleichung

Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist .

Sie besitzt die Lösungen und .

Lösungsgesamtheit inhomogene Differentialgleichung

Ist die Lösung der homogenen Differentialgleichung bekannt, kann mit dem Ansatz [Variation der Konstanten] zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung    begonnen werden:

Variation der Konstanten:

.

Die sich hieraus ergebene  Wronski-Determinante ist

 für . 

Anwendung der Cramerschen Regel:

mit

Die 1. Spalte wurde durch ersetzt, wobei ist (rechte Seite der inhomogenen Differentialgleichung).

 daraus folgt  durch Integration  

daraus folgt  durch Integration

 Die Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit

Jetzt ist es auch möglich die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung darzustellen: