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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Inhaltsverzeichnis

Eine Differentialgleichung, welche die Form

Methode

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                           Trennung der Veränderlichen T.d.V

besitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. 

Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":

Methode

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.

Merke

Hier klicken zum AusklappenAus dieser Beziehung ergeben sich 2 Aussagen bezüglich der Lösungsgesamtheit. 

1. In der Lösungsgesamtheit befinden sich alle Geraden , für die , also eine Nullstelle der Funktion ist.

2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen , die sich aus , in impliziter Form ergeben. 

Anwendungsbeispiel: TDV

Beispiel

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Lösen Sie die Differentialgleichung mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!

0. Zerlegung der Veränderlichen 

Es handelt sich um eine Funktion der Form:

mit   und

1. Bestimmung der Nullstellen von g(y):


Diese konstanten Funktionen und sind [partikuläre] Lösungen. 

2. Trennung der Veränderlichen:

Die Trennung der Veränderlichen erfolgt durch:


Einsetzen von und ergibt:



3. Integralschreibweise

Beide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen

 


Umstellen:

 

2. Auflösen der Integrale 

 



3. Vereinfachen

 [ in  ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!]

, [ wird anstelle der Konstanten verwendet mit ] 

4. Auflösen nach y

  [ und Kehrwert bilden]

mit

Diese Lösungsschar liefert für die partikuläre Lösung .

5. Gesamtlösung

Die Gesamtlösung besteht also aus der Schar   und der partikulären Lösung . 

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