Existiert eine differenzierbare Funktion und besitzt diese zudem eine differenzierbare Ableitung , so ist zweimal differenzierbar.
Die 2. Ableitung schreibt sich
Ist die Funktion mehrfach differenzierbar, so spricht man von der -ten Ableitung von .
Beispiel
Man berechne die 2. Ableitung von
Man erhält in 2 Schritten:
I
II
Die Vorgehensweise des Differenzierens ist identisch mit der Ableitung erster Ordnung und kann für eine Funktion -ten Grades n-mal durchgeführt werden.
Krümmungsverhalten
Die 2. Ableitung bestimmt das Krümmungsverhalten der Stammfunktion an der Stelle . Ist die Krümmung positiv, so handelt es sich um eine "Links-Kurve" und ist sie negativ um eine "Rechts-Kurve".
Merke
Eine Funktion
heißt linksgekrümmt wenn
und rechtsgekrümmt wenn
.
In der obigen Grafik ist zu erkennen, dass für alle Werte eine Rechtskrümmung vorliegt, also und für alle Werte eine Linkskrümmung vorliegt, also . Bei geht die Funktion von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Diesem Punkt nennt man Wendepunkt.
