Ableitungen erster Ordnung

Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.

Ein allgemeines Beispiel für eine Funktion mit einer Ableitung erster Ordnung ist 

.

Die Funktion hat in jedem Punkt die gleiche Steigung. Also egal welchen  -Wert man betrachtet, die Funktion hat an jeder Stelle die Steigung  .

Beweis  

Die Funktion    hingegen hat die Steigung  .  Das bedeutet, dass die Funktion für verschiedene  -Werte auch eine unterschiedliche Steigung aufweist.   

Beweis

In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass die Steigung in den einzelnen Punkten unterschiedlich ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt    besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen.

Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden.

Allgemeine Bestimmung der Tangente

Bei handelt es sich um den betrachteten Punkt, für welchen die Tangente bestimmt werden soll. Diese weist dieselbe Steigung auf, wie die Funktion in diesem Punkt .

Im obigen Fall für  :

 Tangente im Punkt mit derselben Steigung wie die Funktion in diesem Punkt

Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen    multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.