Beispiel
Gegeben sei die folgende Funktion:
Handelt es sich hierbei um eine konkave oder konvexe Funktion bzw. liegt keines von beiden vor?
Die Funktion wird nun wie folgt aufgestellt:
Einsetzen für
Es werden nun nach und nach die Klammern auf der rechten Seite aufgelöst und die Variablen zusammengefasst. Die Klammern mit
Methode
Für die obige Funktion bedeutet dies mit
Methode
Es wird nun mit der Transformation der rechten Seite auf die obige Form begonnen. ACHTUNG: Der letzte Klammerausdruck stellt eine binomische Formel dar:
Auflösen der Klammern, wobei
Danach muss geschaut werden, welche Summanden wegfallen und welche teilweise bzw. vollständig mit berücksichtigt werden müssen:
Der erste und zweite Summand fallen dann vollständig weg:
(1)
(2)
Der dritte Summand
(3)
geht zum Teil ein:
(3*)
es verbleibt demnach noch ein Rest, welcher berücksichtigt werden muss.
Es wird der gesamte vorherige Summand (3) verwendet und der eingehende Summand (3*) davon abgezogen:
Zusammenfassen:
Methode
Der vierte Summand bleibt bestehen:
Methode
Der fünfte Summand
(5)
geht wieder zum Teil ein:
(5*)
Es muss demnach berücksichtigt werden:
Zusammenfassen:
Methode
Es ergibt sich demnach insgesamt (Berücksichtigung der Summand in den Boxen):
Es wird nun eingesetzt
Den 3. Summanden mit (-1) multiplizieren:
Die letzten drei Summanden zusammenfassen:
Es gilt also:
Methode
Es wird nun geschaut ob die obige Funktion
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite. Grund dafür ist der letzte Term der linken Seite. Dieser wird in jedem Fall positiv, da
Es liegt eine streng konkave Funktion vor.
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