Inhaltsverzeichnis
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.
Konkave Funktion
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion streng konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Konvexe Funktion
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konvex, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion streng konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Konvexität und Konkavität im Intervall
Eine Funktion kann auch weder konvex noch konkav sein. Dies liegt vor, wenn die 2. Ableitung sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann für
Eine Funktion heißt konkav (konvex) auf einem Intervall
Die Funktion
ist genau dann konkav auf , wenn für alle ist genau dann konvex auf , wenn für alle
n-dimensionaler Fall
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle
Hesse Matrix
Methode
Vorgehensweise zum Nachweis der Konkavität und Konvexität
- Bildung der 2. Ableitung. Ist diese < 0, so ist die Funktion streng konkav, sonst streng konvex.
- Ist die 2. Ableitung noch abhängig von
, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen. - Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.
Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität
Beispiel
Beispiel
Die 2. Ableitung ist noch abhängig von
Es gelten also die folgenden Bereiche:
Bereich
Es werden nun Werte kleiner Null in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall wird der Wert
Die Funktion ist für den Bereich
Bereich:
Es werden nun Werte zwischen Null und Zwei in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall der Wert
Die Funktion ist für den Bereich
Bereich:
Es werden nun Werte größer Zwei in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall der Wert
Die Funktion ist für den Bereich
Beispiel
Für den n-dimensionalen Fall (hier 2 dimensional) bedient man sich der Hesse-Matrix.
Die Eigenwerte (siehe Kapitel: Lineare Algebra) müssen bestimmt werden:
Berechnung:
Beide Eigenwerte der Hessematrix sind negativ, demnach ist die Hessematrix negativ definit. Die Funktion
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