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Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren. Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion:
Senkrechte Asymptote
Senkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Diese liegt vor, wenn in der Polynomform oder in der faktorisierten Form der gebrochenrationalen Funktion der Nenner gleich null ist, der Zähler jedoch nicht.
Merke
senkrechte Asymptote:
Beispiel: senkreche Asymptote
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Wir berechnen die Nennernullstellen und prüfen, ob es sich um eine Polstelle handelt:
Wir setzen
Bei
Die senkrechte Asymptote ist in diesem Fall die
Waagerechte Asymptote
Für die Berechnung der waagerechten Asymptote müssen Zähler- und Nennergrad verglichen werden.
- Ist der Nennergrad kleiner als der Zählergrad, so ist die waagerechte Asymptote die
. - Sind beide gleich, so resultiert eine waagerechte Asymptote, die eine Parallele zur
-Achse ist. Ihr Abstand von der -Achse beträgt .
Merke
waagerechte Asymptoten:
-Achse: Zählergrad < Nennergrad (n < m) - parallele Gerade zur
-Achse: , wenn Zählergrad = Nennergrad (n = m)
Methode
Ist die waagerechte Asymptote eine Parallele zur
Beispiel: waagerechte Asymptote
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Der Zählergrad
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Zählergrad und Nennergrad sind gleich, es gilt:
Schiefe Asymptote
Eine schiefe Asymptote ist liegt vor, wenn der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad.
Merke
schiefe Asymptote: Zählergrad = Nennergrad + 1 (n = m + 1)
Die Berechnung der schiefen Asymptote wird wie folgt durchgeführt:
Methode
1. Prüfung der Funktion, ob eine schiefe Asymptote vorliegt
2. Durchführung der Polynomdivision
3. Grenzwertbetrachtung
Beispiel: schiefe Asymptote
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Der Zählergrad
Polynomdivision:
Wir führen zunächst die Polynomdivison durch. Dafür dividieren wir den Nenner durch den Zähler:
_____________
Als nächstes muss das Ergebnis aus der Polynomdivision betrachtet werden. Hierzu betrachten wir den Restbruch
Je größer die Werte von
In der obigen Grafik erkennst du deutlich, dass sich die Funktion an die schiefe Asymptote
Berechnen wir mittels pq-Formel die Nullstellen des Nenners, so erhalten wir
Asymptotische Kurve
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt eine asymptotische Kurve, wenn der Zählergrad um mehr als 1 größer ist als der Nennergrad.
Merke
asymptotische Kurve: Zählergrad > Nennergrad + 1 (n = m + 1)
Das Vorgehen zu deren Berechnung enstpricht dem bei der schiefen Asymptote.
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