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In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Berechnung von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle
Merke
Für die Berechnung der Grenzwerte vergleichen wir den Grad von Zähler
Grenzwert gegen plus unendlich
Die Funktion
Merke
Liegt der Fall
Merke
Grenzwert gegen minus unendlich
Die Funktion
Merke
Liegt der Fall
Merke
Fall 1:
Wer das liest, ist doof! Oder kopiert für nen Komilitonen... :D
Merke
Fall 2:
.
Beispiel 1: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind:
Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:
Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für
x | 1 | 10 | 100 | 1000 |
f(x) | 2,0 | 0,350 | 0,3365 | 0,33367 |
.
Beispiel 2: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählegrad kleiner ist als der Nennergrad:
Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:
Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für
x | 1 | 10 | 100 | 1000 |
f(x) | 5,0 | 0,032 | 0,0033 | 0,00033 |
.
Beispiel 3: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad:
Fall 1:
Hier gilt:
Die Funktion strebt gegen unendlich. Wir müssen noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt:
Der Quotient der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner ist positiv. Die Funktion strebt somit gegen:
Fall 2:
Wir stellen fest, ob Zähler- und Nennergrad gerade oder ungerade sind:
Zählergrad und Nennergrad sind verschieden. Wir wissen, dass der Quotient der Leitkoeffizienten positiv ist:
Daraus folgt:
Die Funktion
gegen plus unendlich gegen minus unendlich
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