Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.

Intervalle

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

Es handelt sich hierbei um die Zahlen von einschließlich 0 bis einschließlich 1 und um die Zahlen von ausschließlich 1 bis einschließlich 2. Diese sollen nun miteinander vereinigt werden. Es handelt sich demnach um die Zahlen von einschließlich 0 bis einschließlich 2:

b)

Hierbei handelt es sich um kein Intervall. Denn es existiert eine Lücke zwischen null und zwei.

c)

Hier muss der Durchschnitt gebildet werden. Dieser beinhaltet die Zahlen aus dem linken UND aus dem rechten Intervall. Die wird im rechten Intervall ausgeschlossen und darf somit nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Die kommt dafür im linken Intervall nicht vor und darf demnach ebenfalls nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Das linke Intervall geht nur bis einschließlich . Die kommt auch um rechten Intervall vor, demnach wird sie mitberücksichtigt:

d)

Hier ist die Differenz zu bilden. Wörtlich bedeutet dies:   ohne

e) 

Hier muss der Durchschnitt gebildet werden. Dieser beinhaltet die Zahlen aus dem linken UND aus dem rechten Intervall. Die wird im rechten Intervall ausgeschlossen und darf somit nicht zum Durchschnitt gezählt werden. Sie stellt die linke Grenze dar. Die wird in beiden Intervallen berücksichtigt und stellt die rechte Grenze dar:

f)

Aufgrund des Quadrates werden aus negativen ebenfalls positive Zahlen. Die Ergebnisse befinden sich demnach im Intervall:

g)

h)

Hierbei handelt es sich um kein Intervall. Setzen wir für nur natürliche Zahlen ein, so ergeben sich die Werte . Das sind Zahlen zwischen und , jedoch nicht alle Zahlen zwischen und . Zum Beispiel ist die Zahl dort nicht enthalten, weshalb wir hier von keinem Intervall sprechen können.

Supremum, Infimum

Die kleinere Zahl ist stets das Infimum und die größere Zahl das Supremum. Wird die kleinere Zahl mit eingeschlossen, so liegt ebenfalls ein Minimum vor, wird die größere Zahl mit eingeschlossen so liegt zusätzlich ein Maximum vor.

a)

Die Zahl ist das Infimum und das Minimum. Die Zahl ist das Supremum und das Maximum.

b) 

Die Zahl ist das Infimum, aber nicht das Minimum, da diese ausgeschlossen wird. Die Zahl ist das Supremum, aber nicht das Maximum, da diese ausgeschlossen wird.

c)

Die Zahl ist das Infimum und das Minimum. Die Zahl ist das Supremum und das Maximum.

d)

Die geschweiften Klammern geben nur die Menge der Zahlen wider. Hierbei ist dies zum einen die Kreiszahl und zum anderen die Eulersche-Zahl . Die Eulersche-Zahl ist kleiner als die Kreiszahl, weshalb Infimum und gleichzeitig Minimum und Supremum und gleichzeitig Maximum ist.

e) 

Die natürlichen Zahlen sind . Gibt man nun die kleinste natürliche Zahl ein, so wird . Das bedeutet also hier liegt das Supremum und gleichzeitig das Maximum vor. Gibt man für die größte natürliche Zahl näherungsweise eine sehr große gerade Zahl ein, so strebt der Term gegen . Die wird aber nur erreicht, wenn der Wert eingegeben wird und dieser gehört sich zu den natürlichen Zahlen. Deswegen ist die zwar das Infimum aber nicht das Minimum.

f)

g) 

Die Vereinigung der beiden Intervalle. Das bedeutet, alle Zahlen, die im ersten und im zweiten sowie in beiden vorkommen, wobei doppelte Zahlen einfach gezählt werden. Das Intervall ergibt sich dann zu:

h)

Es exsitiert kein Infiumum und demnach auch kein Minimum, da das Intervall nach unten unbeschränkt ist. Nach oben ist es aber beschränkt und es gilt:

i) 

Auflösen nach ergibt: und damit und .

j) 

Mengen: Vereinigung und Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer Menge wird durch angegeben.

a)

b)

c) Wir bilden zunächst die Vereinigung der Mengen und aus den Aufgaben a) und b).

d) Wir bilden wieder zunächst die Vereinigung der Mengen und .

Binominalkoeffizient

Kürzen von 1 bis 10 im Zähler und Nenner:

Kürzen von 11 bis 22 im Zähler und Nenner:

Es sollen aus 4 Damen 2 gezogen werden und aus 4 Königen genau 4:

Der letzte Faktor ergibt sich, weil ja 10 Karten aus 32 gezogen werden sollen und 6 Karten aus 8 bereits definiert sind (erster und zweiter Faktor), es bleiben also noch 4 aus 24:

Es gibt davon 63.756 Fälle. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei:

.

Lottozahlen: .

Skatblätter: .

Es gibt daher -mal mehr Skatblätter.