Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.
Obere und untere Schranke
Eine Menge reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn mit . In diesem Fall ist eine obere Schranke von .
Eine Menge reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn mit . In diesem Fall ist eine untere Schranke von .
Eine Menge reeller Zahlen ist beschränkt, wenn sie eine untere Schranke und eine obere Schranke besitzt. Es gilt .
Das Supremum einer Menge ist ein Element, welches oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente in liegt. Das bedeutet, dass das Supremum nicht nur das größte Element unter den anderen Elementen sein muss, sondern auch jenseits der Menge liegen kann. Das Supremum ist dabei das kleinste Element oberhalb der anderen Elemente. Das Supremum ist also die kleinste obere Schranke einer Menge.
Methode
Definition
Eine Zahl heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von ,
(i) wenn eine obere Schranke von ist und
(ii) wenn ebenfalls eine obere Schranke von ist und es gilt .
Beispiel
Gegeben sei die Menge
. Was ist das Supremum von
?
Das Supremum von ist in diesem Beispiel . Die ist eine obere Schranke von , da diese größer oder gleich (in diesem Fall sogar größer) als jedes Element von ist. Die liegt also oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente. Eine weitere obere Schranke wäre die Zahl . Allerdings suchen wir die kleinste obere Schranke. Daher ist die die kleinste obere Schranke von und somit das Supremum.
Merke
Ist
nach oben beschränkt, so wird die kleinste obere Schranke
als Supremum von
bezeichnet.
Infimum
Analog gilt nun für den Begriff Infimum, dass ein Infimum nichts anderes ist als die größte untere Schranke. Es handelt sich also um das größte Element, welches unterhalb aller anderen Elemente in liegt.
Methode
Definition
Eine Zahl heißt größte untere Schranke oder Infimum von ,
(i) wenn ist eine untere Schranke von und
(ii) wenn ebenfalls eine untere Schranke von ist und es gilt .
Beispiel
Gegeben sei die Menge
. Was ist das Infimum und Supremum von
?
Das Infimum von ist . Dieser Wert liegt unterhalb (und in diesem Fall auch außerhalb) der anderen Elemente und stellt den größten unteren Wert dar und ist damit die größte untere Schranke (hingegen wäre auch eine untere Schranken, aber eben nicht die größte untere Schranke). Das Supremum von ist . Dieser Wert liegt oberhalb aller anderen Elemente (in diesem Fall aber noch innerhalb) und stellt den kleinsten oberen Wert dar und ist damit die kleinste obere Schranke von .
Merke
Ist
nach unten beschränkt, so wird die größte untere Schranke
als Infimum von
bezeichnet.
