Übungsbeispiele zur Mengenlehre

In diesem Abschnitt werden einige Übungsbeispiele zur Mengenlehre aufgeführt.

1. Beispiel zur Mengenlehre

Wir bilden zunächst die Vereinigung. Hierbei gilt: Alle Elemente, die entweder in oder in oder in beiden enthalten sind, wobei doppelte Elemente einfach gezählt werden:

Als nächstes legen wir den Durchschnitt der Mengen fest. Hierbei gilt es, alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in als auch in vorkommen:

Die Differenzmenge besagt, dass alle Elemente aus berücksichtigt werden müssen, die nicht auch in enthalten sind:

Die Differenzmenge besagt, dass alle Elemente aus berücksichtigt werden müssen, die nicht auch in enthalten sind:

Die Menge (gelesen: quer) ist die Menge aller Elemente aus , welche nicht zu gehört. ist die Komplementärmenge von bezüglich der Grundmenge .

Das bedeutet also:

2. Beispiel zur Mengenlehre

a) Es wird zunächst der Durchschnitt der Mengen festgelegt. Hierbei gilt es, alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in als auch in vorkommen:

b) Es wird zuerst die Komplementärmenge gebildet.  ist die Komplementärmenge von bezüglich der Grundmenge . Die Komplementärmenge der Menge umfasst alle Elemente aus der Grundmenge , die nicht zur Menge gehören.

.

Es kann nun der Durchschnitt gebildet werden. Hierbei gilt es alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in als auch in vorkommen:

c) Es wird nun die Komplementärmenge gebildet:

.

Anschließend wird der Durchschnitt gebildet:

Es wird nun mit dem Ergebnis die Vereinigung mit gebildet. Hierbei werden alle Elemente berücksichtigt, die sowohl in  als auch in sowie in beiden vorkommen:

d) Es wird zunächst die Komplementärmenge von gebildet:

.

Anschließend wird die Vereinigung gebildet:

e) Es wird als nächstes die Vereinigung der Mengen und gebildet:

f) Danach wird die Vereinigung der Mengen und gebildet:

g) Zuerst wird die Vereinigung der Mengen und gebildet:

Danach wird die Vereinigung aus dem obigen Ergebnis mit der Menge gebildet:

h) Es wird zunächst der Durchschnitt aus und gebildet:

Danach wird der Durchschnitt mit gebildet:

.

i) Die Komplementärmenge wurde bereits weiter oben bestimmt. Es wird jetzt der Durchschnitt gebildet:

j) Die Komplementärmengen sind bereits alle oben bestimmt worden. Es wird zunächst der Durchschnitt gebildet:

Dann wird die Vereinigung mit gebildet:

k) Es wird zunächst der Durchschnitt von und gebildet:

Danach wird die Vereinigung mit gebildet:

Es wird darauffolgend die Komplementärmenge des obigen Ergebnisses gebildet:

3. Beispiel zur Mengenlehre

Es werden die Elemente der linken Seite betrachtet und diese dann so umgeformt, dass folgende rechte Seite resultiert:

Die Vereinigung  bedeutet, dass alle Elemente sowohl in als auch in als auch in beiden vorkommen. Bildet man demnach zuerst die Vereinigung, bedeutet dies:

und damit

 (Elemente in A oder B)

Das "Oder" ist nicht-ausschließend zu verstehen: Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Es ist die Differenz aus und der Vereinigung von zu bilden. Das bedeutet, alle Elemente die in vorkommen, aber nicht in der Vereinigung von und . Das kann man demnach auch schreiben zu:

und für:

Das bedeutet demnach, dass ein Element von und Nichtelement von  oder ist. ist also das Element aus aber eben nicht aus A oder B oder beiden.

Das wiederum gibt die Differenz wieder:

ist Element von und nicht von  ODER ist Element von und nicht von . Dieses ODER entspricht der Vereinigung:

Zahlenbeispiel zu dieser Aufgabe:

:

.

: