Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen

In diesem Abschnitt zeigen wir dir Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen auf.

Anwendungsbeispiele: Einfache Ungleichungen

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach umgestellt:

Nun lösen wir nach auf. Da bei der Auflösung nach die gesamte Gleichung mit multipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach umgestellt:

Nun lösen wir nach auf.

Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach umgestellt:

Nun lösen wir nach auf. Da bei der Auflösung nach die gesamte Gleichung mit multipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:

Anwendungsbeispiele: Bruchungleichungen

Zunächst wird der Nenner betrachtet. Da hier bei dieser Null wird und durch Null nicht geteilt werden darf, muss hier als Lösung ausgeschlossen werden:

Es wird als nächstes der Nenner auf die andere Seite gebracht. Hierbei muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da der Nenner positiv oder negativ werden kann.

1.) Fallunterscheidung für :

Der Nenner wird negativ. Das bedeutet, dass bei der Muliplikation mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muss.

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Auflösen nach ergibt:

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Es resultiert, dass x > -5 ist. Wir haben in der Fallunterscheidung x < 2 gegeben. Wir wissen nun also, dass -5 die untere Grenze dieser Fallunterscheidung ist und 2 die obere Grenze:

2.) Fallunterscheidung für :

Der Nenner wird positiv. Das bedeutet, dass bei der Muliplikation mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden muss.

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Auflösen nach ergibt:

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Die Fallunterscheidung besagt, dass x größer als 2 ist. Im Ergebnis erhalten wir wir x ist kleiner als -5. Dies ist ein Widerspruch. Diese Ungleichung ist für nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 2 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -5. Diese Lösungsmenge ist leer.

    leere Menge

Es wird als nächstes der Nenner auf die andere Seite gebracht. Hierbei muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da der Nenner negativ und positiv werden kann.

1.) Fallunterscheidung für .

Der Nenner wird negativ. Bei der Multiplikation muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden:

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Nach auflösen:

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Die Ungleichung kann für erfüllt werden:

2.) Fallunterscheidung für

Der Nenner wird positiv. Bei der Multiplikation muss das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden:

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Nach auflösen:

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Diese Ungleichung ist für nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 4 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -1,238. Diese Lösungsmenge ist leer.

Es gilt zunächst, dass bei beide Nenner den Wert null annehmen, weshalb:

Beide Brüche werden als nächstes auf eine Seite gebracht:

Nun klammern wir beim 2. Bruch die Zahl im Nenner und Zähler aus. Ziel ist das Kürzen der im Nenner:

Kürzen der :

Es sind beide Nenner gleichnamig. Deswegen können die Zähler zusammengezogen werden:

Fallunterscheidung vornehmen! Bei wird der Nenner Null. Deshalb wird nun die Fallunterscheidung vorgenommen.

1.) Auflösen nach für den Fall : Der Nenner wird positiv, das Ungleichheitszeichen muss nicht umgedreht werden.

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Hier kann eine Lösungsmenge angegeben werden. soll größer als , aber kleiner als sein:

2.) Auflösen nach für den Fall : Der Nenner wird negativ, das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden.

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Hier soll kleiner als und gleichzeitig größer als sein. Das ist nicht möglich, die Lösungsmenge ist hier leer.

Anwendungsbeispiele: Betragsungleichungen

Der Betragsterm wechselt bei (auflösen nach ) sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei wird der Betragsterm negativ und bei positiv.

Der Betragsterm wechselt bei sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei der Betragsterm positiv wird und bei negativ. 

Es werden nun die folgenden Fälle betrachtet:

1. Fall:

2. Fall:

3. Fall:

1.Fall: 

Bei wird der 1. Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm negativ.

Da die gesamte Ungleichung beim Auflösung nach mit einem negativen Wert multipliziert wird, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

Da für die Ungleichung nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.

2. Fall: 

Bei wird der 1. Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm positiv.

Da die gesamte Ungleichung beim Auflösung nach mit einem negativen Wert multipliziert wird, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

Unter der Voraussetzung erhält man als Teillösung:

3. Fall:

Bei wird der 1. Betragsterm negativ und der 2. Betragsterm positiv.

Da ein positives Vorzeichen vor dem steht, darf beim Auflösen nach das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht werden.

Es existiert auch hier eine Lösung, da und eine Lösung angeben:

Wir können beide Teillösungen zusammenfassen, da die erste Teillösung 3 einschließt und die 2. Teillösung bei größer 3 beginnt:

Der Betragsterm wechselt bei (auflösen nach ) sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei wird der Betragsterm positiv und bei negativ. 

Der Betragsterm wechselt bei sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei der Betragsterm positiv wird und bei negativ. 

Der Betragsterm wechselt bei sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei der Betragsterm positiv wird und bei negativ. 

Es werden nun die folgenden Fälle unterschieden:

1. Fall:

2. Fall:

3. Fall:

4. Fall:

1.Fall: 

Alle drei Betragsterme werden für negativ.

Da hier kein Widerspruch besteht und keine Untergrenze resultiert, kann x Werte bis Minus unendlich annehmen.

Es ergibt sich die Teillösung:

2.Fall: 

Der erste Term wird positiv und die beiden anderen Terme negativ.

Es ergibt sich die Teillösung:

3. Fall: 

Der erste Term wird positiv, der 2. Term negativ und der 3. Term positiv.

Da die Ungleichung für  nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.

4. Fall:

Alle Terme werden positiv.

Es ergibt sich die Teillösung: