Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer.
Merke
Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer etc. durch ein
Wie die Integration mittels Substitution angewandt wird, soll als nächstes gezeigt werden.
Beispiel
1. Zuerst substituiert man die Klammer:
Methode
Danach wird
Methode
Es kann als nächstes ganz einfach nach
Methode
2. Anschließend ersetzen von
3. Konstante Terme vor das Integral ziehen:
4. Integrieren:
5. Rücksubstitution:
Die obigen Rechenschritte sind im Ablauf immer identisch und lassen sich mit ein wenig Übung auf jedes andere unbestimmte Integral übertragen.
Beispiel
1. Substituieren:
Methode
2. Einsetzen:
3. Entfällt: Keine konstanten Terme vorhanden.
4. Integrieren:
5. Rücksubstitution:
Beispiel
Integriere
Hier ist die Abhängigkeit von
Methode
Die Ableitung von
Oben wurde definiert:
Auflösen nach
Methode
Es gilt außerdem:
Einsetzen:
Es folgt die Rücksubstitution:
Bei der hier vorgestellen Substitutionsregel wird die auf Leibniz zurückgehende Schreibweise angewandt. Bei dieser ist häufig auch die partielle Integration zu berücksichtigen. Bei dem Integral
