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In diesem Abschnitt prüfen wir, ob das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Dies ist der Fall, wenn bei einer
Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit
Beispiel
Ist die obige Matrix diagonalisierbar?
1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms
Methode
mit
Berechnung der Determinante mittels Regel von Sarrus (ersten beiden Zeilen unten anfügen):
Hinweis
Nur diese beiden Diagonalen sind relevant, weil die anderen null werden!
Ausklammern von
2. Schritt: Nullstellen\ Eigenwerte bestimmen
Das charakteristische Polynom gleich Null setzen und nach
Hier können wir die Nullstellen direkt ablesen, ohne eine Polynomdivison durchführen zu müssen. Wird eine Klammer zu Null, so wird der gesamte Ausdruck Null.
Die erste Klammer wird zu Null für
Die zweite Klammer wird zu Null für:
Das bedeutet, es existiert eine reelle Nullstelle bzw. ein Eigenwert der Matrix
Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom sich nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
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