Diagonalisierbarkeit

Es ist sinnvoll eine gegebene quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix zu überführen, weil sich die Matrizenaddition, die Skalarmultiplikation und die Matrizenmultiplikation vereinfachen (wie im vorherigen Abschnitt gezeigt). Es gibt aber noch weitere Vorteile, die eine Diagonalmatrix aufweist:

• Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.
• Der Rang einer Diagonalmatrix entspricht den Einträgen auf der Hauptdiagonalen, sofern ungleich null.
• Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.

Definition der Diagonalisierbarkeit

Eine -Matrix  mit Einträgen aus einem Körper  ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Zu 1:

Sind für das charakteristische Polynom einer -Matrix weniger als Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Zu 2:

geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren

algebraische Vielfachheit: Die Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss.

Sind Eigenwerte und Eigenvektoren identisch, so ist die Matrix diagionalisierbar!