In diesem Abschnitt werden die Diagonalmatrix und die Rechenregeln für diese eingeführt.
Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.
Sind dabei alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen identisch, so spricht man auch von Skalarmatrizen. Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix.
Matrizenaddition von Diagonalmatrizen
Methode
Werden zwei Diagonalmatrizen
Beispiel
Addition von
Methode
Wird eine Matrix zu einer Diagonalmatrix addiert, so ändern sich auch hier nur die Werte in der Diagonalen.
Beispiel
Addition von Matrix
Merke
Die Matrizenaddition ist kommutativ:
MatrizenMultiplikation von Diagonalmatrizen
Multiplikation mit einem Skalar
Methode
Die Multiplikation einer Diagonalmatrix mit einem Skalar wird so durchgeführt, indem nur die diagonalen Einträge mit diesem Skalar multipliziert werden.
Beispiel
Vervielfachen der Diagonalmatrix
Multiplikation mit einer Matrix
Beispiel
Multiplikation der Matrix
Methode
Multiplikation von links:
Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von
Methode
Multiplikation von rechts:
Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von
Merke
Die Diagonalmatrix bietet also bei den Berechnungen Vorteile, weil die Anzahl der Rechenschritte sich stark reduzieren lässt.
Hinweis
Wie eine Matrix in eine Diagonalmatrix überführt werden kann, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.
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