Eigenwerte

Das Eigenwertproblem

sei eine quadratische Matrix vom Typ . 

Das Eigenwertproblem sucht eine Zahl und einen dazugehörigen Vektor damit die Matrizengleichung



erfüllt ist.

Die Zahl wird als der Eigenwert bezeichnet, der Faktor als der Eigenvektor.

Diese Gleichung lässt sich umformen in:



Multiplizieren wir die Einheitsmatrix mit dem Eigenvektor, so ergibt dieser sich selbst als Ergebnis. Wir können deshalb setzen und formen die Gleichung um:

Eigenwerte

Die Eigenwerte der Matrix sind die Lösungen der Gleichung , welche ein lineares Gleichungssystem darstellt.

Mit der Voraussetzung dass , ist dieses LGS genau dann lösbar, wenn gilt:

Die Determinante stellt ein Polynom -ten Grades mit der Variable dar:

Ist dieses Polynom normiert, so nennt man es das charakteristische Polynom der Matrix

Ein Polynom -ten Grades hat höchstens Nullstellen. Somit existieren höchstens Eigenwerte der Matrix A.

Anwendungsbeispiel

1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen

2. Schritt: Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch Anwendung der p/q-Formel

und  sind die Eigenwerte der Matrix .