Inhaltsverzeichnis
Zwei Vektoren im R³
Zwei Vektoren
Methode
mit
Nehmen beide
Sinnvoll ist es, bei zwei Vektoren die folgende Defintion zu wählen (die Berechnung fällt weniger umfangreich aus):
Zwei Vektoren
Methode
Ergibt sich für
Es gilt also:
- Zwei Vektoren im
sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen. - In der grafischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im
genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.
1. Anwendungsbeispiel
Dazu betrachten wir zwei Vektoren im
Beispiel
Gegeben seien die Vektoren
Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?
Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor
Berechnung:
Die beiden Vektoren
Gleichungssystem aufstellen:
Da
2. Anwendungsbeispiel
Beispiel
Gegeben seien die Vektoren
Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?
Hier können wir bereits erkennen, dass beide Vektoren linear abhängig voneinander sind, weil der
Berechnung:
Die beiden Vektoren
Gleichungssystem aufstellen:
Da
Drei Vektoren im R³
Sind im
Hinweis
In einem späteren Abschnitt wird die Basis von Vektoren behandelt. Im
Zunächst prüfen wir, ob drei Vektoren linear abhängig voneinander sind:
Drei Vektoren
Methode
mit
Nehmen alle
Anwendungsbeispiel
Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit dreier Vektoren an einem Beispiel.
Beispiel
Gegeben seien die drei Vektoren im
Sind diese drei Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander?
Lässt sich der Nullvektor als Linearkombination der drei Vektoren darstellen bzw. nehmen nicht alle
Hinweis
Wir werden bei der Berechnung der Unabhängigkeit der drei Vektoren im
Gauß-Algorithmus
Wir tragen alle drei Vektoren im
Danach wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Da keine Nullen in den Spalten gegeben sind, beginnen wir mit der 1. Spalte und versuchen möglichst viele Nullen in der Spalte zu erzeugen.
Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte):
Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte):
Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte):
Aus der 3. Zeile ergibt sich:
Aus der 2. Zeile ergibt sich:
Aus der 1. Zeile ergibt sich:
Alle drei
Determinante
Bei drei Vektoren im
Methode
Repetition der Regel von Sarrus: Es werden die ersten beiden Zeilen unter die Matrix geschrieben, dann addiert man das Produkt aus den Elementen auf der grünen Diagonalen und subtrahiert davon das Produkt aus den Elementen auf der blauen Diagonalen.
Da sich ein Wert ungleich null ergibt, sind die Vektoren voneinander unabhängig.
Vier und mehr Vektoren im R3
Haben wir im
Anwendungsbeispiel
Beispiel
Gegeben seien die drei Vektoren des vorangegangenen Beispiels und zusätzlich ein beliebiger Vektor
Der Vektor
Eintragen in eine erweiterte Matrix, wobei die rechte Seite hier berücksichtigt werden muss, da es sich hierbei nicht um den Nullvektor handelt:
Zur Berechnung der Unbekannten wenden wir den Gauß-Algorithmus an:
Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte):
Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte):
Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte):
Aus der 3. Zeile ergibt sich:
Aus der 2. Zeile ergibt sich:
Aus der 1. Zeile ergibt sich:
Mittels der resultierenden Skalare kann der Vektor
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