Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis

Definition: Vektorraum

Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums .

Addition von Vektoren

Eine Bedingung ist, dass die Vektoren miteinander addiert werden können. Sind also Vektoren aus , also , dann muss es möglich sein, ihre Summe zu bilden. Das Ergebnis muss wieder ein Vektor aus sein, also: 

Skalarmultiplikation mit Vektoren

Die Vektoren müssen mit einer reellen Zahl (Skalar) multpliziert werden können. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor aus :

Lineare Hülle/Spann

Unter der linearen Hülle von der Menge (engl: span) versteht man die Menge von Vektoren (in ), die sich als Linearkombination mit Vektoren aus darstellen lassen:

Hierbei ist eine Teilmenge von . 

Die lineare Hülle besteht besteht aus allen Vielfachen der Vektoren (aus ) und deren Summen, ist also die Menge aller möglichen Linearkombinationen, die mit den gegebenen Vektoren gebildet werden können.

Die lineare Hülle eines einzigen Vektors ist die Menge aller Vielfachen dieses Vektors:

Wählen wir z. B. , so ergibt sich:

.

Dieser Vektor bildet also unter anderem die lineare Hülle von . Wird der Vektor also mit multipliziert, wobei alle reellen Zahlen annehmen kann, so resultierenden die Vektoren, die alle die lineare Hülle von bilden.

Ein Vektor ist genau dann in , wenn es passende Skalare und gibt, sodass sich der Vektor als Linearkombination von und darstellen lässt.

Setzen wir z. B. und , so erhalten wir einen Vektor, der zur obigen linearen Hülle gehört:

Auch hier können für und wieder alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Man kann sich vorstellen, wie groß die lineare Hülle dieser Menge wird.

Dann ist die lineare Hülle definiert zu:

Ein Vektor ist genau dann in , wenn es passende Skalare gibt, sodass sich der Vektor als Linearkombination der Vektoren darstellen lässt. 

Erzeugendensystem, Basis

sei ein Vektorraum und Elemente dieses Vektorraums. Dann heißt Erzeugendensystem von , falls die lineare Hülle von den gesamten Vektorraum ergibt:

Wir betrachten also einen Vektorraum . Das Erzeugendensystem für diesen Vektorraum ist die Menge von Vektoren, deren lineare Hülle den gesamten Vektorraum abbildet. 

Wenn wir also eine Menge von Vektoren gegeben haben, dann ist diese Menge ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor im Vektorraum als Linearkombinantion dieser Vektoren dargestellt werden kann. 

Wir können prüfen, ob eine Menge ein Erzeugendensystem darstellt, indem wir die Dimension der lineare Hülle mit der Dimension des Vektorraums vergleichen. Resultieren die gleichen Dimensionen, so ist die Menge ein Erzeugendensystem.

Basis

Im besteht die Basis aus zwei linear unabhängigen Vektoren, im aus drei unabhängigen Vektoren und im aus unabhängigen Vektoren.

Wir können prüfen, ob eine Menge ein Erzeugendensystem darstellt, indem wir die Dimension der linearen Hülle mit der Dimension des Vektorraums vergleichen. Stimmt die Anzahl der Dimensionen überein, so ist die Menge ein Erzeugendensystem. Handelt es sich bei der Menge um eine Basis, dann muss zusätzlich die Anzahl der Vektoren der Dimension entsprechen.

Zum besseren Verständnis der oben aufgeführten Themen, ziehen wir ein Beispiel heran.

Anwendungsbeispiel: lineare Hülle, Erzeugendensystem, Basis

Erzeugendensystem

Zur Überprüfung können nun verschiedene Rechenwege herangezogen werden. Der einfachste Weg folgt über den Rang einer Matrix.

1. Ist eine Teilmenge des Vektorraums?

Wir prüfen zunächst, ob die Menge eine Teilmenge des Vektorraums darstellt. Da alle Vektoren dem angehören und demnach miteinander addiert sowie mit einem Skalar multipliziert werden können und daraus wieder ein Vektor des resultiert, ist eine Teilmenge von .

2. Vergleichen der Dimension der linearen Hülle mit der Dimension des Vektorraums

Wir bilden die lineare Hülle der Menge :

Wir schreiben zunächst das Gleichungssystem auf:

Eine Möglichkeit ist es nun, die Dimension der linearen Hülle zu bestimmen, indem wir die Vektoren in eine Matrix eintragen und den Rang dieser Matrix bestimmen. Entspricht der Rang der Dimension von , so ist die Menge ein Erzeugendensystem des Vektorraums .

Wir tragen nun die Vektoren in eine Matrix ein:

Hier müssen keine elementaren Umformungen mehr vorgenommen werden, da keine weiteren Nullen in den Zeilen erzeugt werden können, ohne dass eine andere Null verschwindet. Es ist aber deutlich zu erkennen, dass aufgrund der Nullen an unterschiedlichen Stellen, die 1. Zeile von der 2. Zeile unabhängig ist. Der 1. Zeilenvektor kann also nicht als Linearkombination des 2. Zeilenvektors dargestellt werden. Oder: Es gibt keine Zahl mit welcher der 1. Zeilenvektor multipliziert werden kann, damit der 2. Zeilenvektor resultiert.

Demnach sind hier 2 unabhängige Zeilenvektoren gegeben. Damit ist der Rang der Matrix . Zwei Vektoren sind also voneinander unabhängig. Um den Vektorraum zu erzeugen, benötigt man zwei linear unabhängige Vektoren.

Die Dimension des Vektorraums und die Dimension der linearen Hülle sind demnach gleich. Damit ist die Menge ein Erzeugendensystem des Vektorraums , weil gilt:

Wählen wir einen beliebigen Vektor des :

Dann kann dieser Vektor als Linearkombination der Vektoren in abgebildet werden. Jeder andere Vektor im kann ebenfalls als Linearkombination der Vektoren in abgebildet werden:

  (frei gewählte Koeffizienten)

Wichtig: Die obigen Koeffizienten sind frei gewählt, so dass der Vektor (8,1) resultiert. Dabei muss mindestens ein Koeffizient ungleich null sein. Dies ist im obigen Beispiel der Fall. Zwei Koffizienten sind ungleich null, zwei gleich null. Mit , und kann der Vektor abgebildet werden. 

Basis

Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Wir betrachten den . Mithilfe von zwei unabhängigen Vektoren lässt sich der gesamte Vektorraum darstellen. Die anderen Vektoren in der Menge sind nicht notwendig, um den Vektorraum abzubilden. Die Basis ist also ein minimales Erzeugendensystem.

Wir müssen also als nächstes prüfen, ob die obige Menge , die ja ein Erzeugendensystem darstellt, auch gleichzeitig eine Basis darstellt. Dieser Schritt ist nun einfach. Wir haben den Rang 2 ermittelt. Da aber 4 Vektoren gegeben sind, ist die Menge zwar ein Erzeugendensystem, jedoch keine Basis. Wir haben nämlich nur zwei unabhängige Vektoren, die anderen beiden sind linear abhängig. Demnach ist die Menge keine Basis.

Für den gilt, dass die Basis stets aus zwei unabhängigen Vektoren besteht. Jeder weitere Vektor ist nicht linear unabhängig und gehört demnach nicht zur Basis. 

Wir wollen nun die Basen der obigen Vektoren aus bilden. Wir betrachten dazu zwei unabhängige Vektoren, weil wir uns im befinden. Wir beginnen mit dem Vektor und . Lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors darstellen, so sind beide linear abhängig und bilden keine Basis:

Nach auflösen:

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für , demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein , welches mit dem Vektor multipliziert den Vektor als Ergebnis hat (und anders herum).

Betrachten wir die Vektoren und . Führen wir nun die obige Berechnung durch, so erhalten wir zwei linear unabhängige Vektoren.

Für die weiteren Vektoren gilt:

Wir haben hier also 6 Basen gegeben, die jeweils zwei unabhängige Vektoren enthalten. Jeder weitere Vektor stellt eine Linearkombination der Vektoren innerhalb der Basis dar.

Wählen wir die erste Basis mit den Vektoren und . So ist z. B. der Vektor eine Linearkombination aus diesen Vektoren:

Wir tragen das Ganze in eine Matrix ein:

Nun wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Hierbei versuchen wir, so viele Nullen wie möglich zu erzeugen, um das Gleichungssystem zu lösen. Die 2. Zeile wird mit 2 multipliziert und danach die 1. Zeile abgezogen:

Aus der 2. Zeile ergibt sich dann:

Einsetzen in die 1.Zeile:

   | einsetzen

Der Vektor kann somit als Linearkombination der beiden Vektoren und dargestellt werden. Jeder andere Vektor im kann als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden.

Diese Aussage gilt ebenfalls für die anderen 5 Basen.