Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ihr Name leitet sich von den griechischen Wörtern lógos = "Verständnis, Lehre" und arithmós = "Zahl" ab. Schon vor Christi Geburt sind entsprechende Berechnungen belegt. Die Bezeichnung Logarithmus wurde von John Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts eingeführt.

Einführung in den Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion

Als Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion bezeichnet der Logarithmus einer Zahl den Exponenten, mit dem ein vorher festglegter Zahlenwert (Basis) potenziert werden muss, um die festgelegte Zahl zu erhalten.

Anders ausgedrückt: Das positive reelle als Potenz zur Basis wird als die Zahl formuliert, die die Gleichung

löst. Der Logarithmus ist ihr Exponent

.

Setzen wir beide Terme ineinander ein, so können wir die Definition des Logarithmus' mit folgenden Gleichungen wiedergeben:

Wie schon erwähnt, heißt die Basis des Logarithmus'. Wir nennen das Argument des Logarithmus'.

Wir suchen also das Argument und sehen, dass die der Exponent zur Zahl ist, um zu erhalten. Wir können auch schreiben:

Wir suchen den Wert (Exponent), mit dem wir die Basis potenzieren müssen, um das Argument zu erhalten.

Die Eigenschaften und Grenzwerte der allgemeinen Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen haben eine große Bedeutung in der Wissenschaft, da mit ihnen sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich dargestellt werden können. Als allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis bezeichnen wir die Funktion, die bei gegebener fester Basis jedem Argument ihren Logarithmus zuordnet:

Die Logarithmusfunktionen sind nur für positive reelle Zahlen sowie für alle positive Basen außer definiert:

Möchten wir das Monotonieverhalten der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen, müssen wir darauf achten, ob die Basis zwischen und liegt oder größer als ist.

Für alle gilt:

• Die Funktion ist streng monoton wachsend.
• und
• Für ist die -Achse (negativer Teil) eine senkrechte Asymptote.

Für alle gilt:

• Die Funktion ist streng monton fallend.
• und
• Für ist die -Achse (positiver Teil) eine senkrechte Asymptote.

Rechenregeln

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) Wir kürzen aus der Summe das aus und erhalten:

(7) Wurzeln sind nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten:

Logarithmusfunktionen zu speziellen Basen

In Mathematik und Technik werden häufig Logarithmusfunktionen zu speziellen Basen angewendet:

binärer Logarithmus, Logarithmus zur Basis
Anwendung in der Informatik im Binärsystem

dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus; Logarithmus zur Basis
Anwendung bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem

natürlicher Logarithmus oder Logarithmus naturalis; Logarithmus zur Basis (eulersche Zahl)
Anwendung im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen

Basisumrechnung

Die meisten gängigen Taschenrechner können nur den dekadischen und den natürlichen Logarithmus einer Zahl bestimmen. Möchtest du den Logarithmus einer beliebigen Zahl berechnen, musst du die Basisumrechnung beherrschen.

Die Gleichung formen wir um in:

Wir logarithmieren beide Seiten mit einer beliebigen Basis :

Wir sehen somit, dass sich die Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Zur Basisumrechnung verwenden wir also diesen Zusammenhang:

Berechnung mit Hilfe der Basis :

Berechnung mit Hilfe der Basis :