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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch
Eigenschaften des Vektorprodukts
Das Vektorprodukt
Methode
2. Der Betrag des Vektorprodukts
3. Der resultierende Vektor
Um die Richtung des Vektorproduktes
Merke
Rechte-Hand-Regel:
Bei der rechten-Hand-Regel werden der Zeige- und Mittelfinger für die Ausgangsvektoren verwendet, welche sich in derselben Ebene befinden. Der Daumen gibt dann die Richtung des resultierenden Vektors an. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus
Wir schauen uns zunächst die beiden Vektoren
Im obigen Beispiel liegt Vektor
Berechnung des Vektorprodukts
Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:
Methode
Bei der Berechnung des Vektorprodukts kann also entweder die obige Formel oder eine vereinfachte Variante angewendet werden:
Die Einträge der Vektoren werden zweimal untereinander geschrieben. Die erste Zeile und die letzte Zeile werden gestrichen:
Es werden dann über kreuz immer zwei Einträge miteinander multipliziert:
Die Gleichung auf der rechten Seite entspricht genau der oben in der Methode-Box aufgeführten Gleichung.
Prüfungstipp
Hast du also innerhalb der Klausur die Formel für das Vektorprodukt vergessen, so kannst du die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und die obigen Diagonalen bilden. Die grünen Diagonalen müssen dabei von den blauen abgezogen werden.
Beispiel: Vektorprodukt
Beispiel
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts
Lösung: Berechnung der Fläche
Der Flächeninhalt des von den Vektoren
Lösung: Berechnung des Winkels
Der Winkel wird berechnet, wie im Abschnitt Skalarprodukt und Winkel beschrieben:
Wir bilden also zunächst das Skalarprodukt:
Danach bestimmen wir die Länge der beiden Vektoren
Einsetzen in die obige Formel ergibt:
Wir lösen nach dem Winkel auf:
Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten
Beispiel
Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Wir können also die gleiche Methode benutzen. Die resultierende Fläche muss nur mit dem Faktor 1/2 multipliziert werden. Dazu müssen wir in diesem Fall zuerst die zwei aufspannenden Seitenvektoren berechnen:
Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt bestimmt:
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit:
Merke
Bezieht man sich auf die Einheitsvektoren
- Wenn:
dann:
