Einführung in die Vektorrechnung

Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z. B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum  besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen Raum Koordinaten. 

Vektor  in einem -dimensionalen Raum:

Vektoren werden in einem 2-dimensionalen Raum (auch in der Ebene genannt) folgendermaßen dargestellt:

In der obigen Grafik sind die Vektoren  und  dargestellt. 

Ortsvektoren

Wie in der obigen Grafik ersichtlich, können Vektoren dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann z. B. der Ort des Punktes  durch den Vektor 

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt gehörenden Ortsvektor. bezeichnet dabei den Koordinatenursprung , der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet und ist der Punkt auf den der Vektor zeigt.

Vektor aus zwei Punkten: Richtungsvektor

Zur Berechnung eines Vektors aus zwei Punkten und benötigt man zuerst die Ortsvektoren zu den Punkten und . Geht der Vektor von nach , (Spitze zeigt auf ) so zieht man den Ortsvektor vom Ortsvektor ab. Geht hingegen der Vektor von nach (Spitze zeigt auf ), so zieht man den Vektor vom Vektor ab.

Die beiden zugehörigen Ortsvektoren sind  und  .

Der dazugehörige Vektor, welcher von nach geht, ist:

Der Richtungsvektor  hat nun die folgende Richtung (rot gestrichelter Vektor):

Dieser Richtungsvektor ist ersteinmal ein Ortsvektor mit Beginn im Koordinatenursprung. Mit der Spitze zeigt er auf den Punkt . Verschiebt man diesen nun (parallel zu sich selbst) zu den Punkten und hin, so sieht man, dass dies genau der Vektor ist der von Punkt nach Punkt geht.