Ein Vektor der die Länge besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.
Basisvektoren
Die drei Achsen , und eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren , und bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.
Hierbei stellt den Einheitsvektor in - Richtung dar, die Einheitsvektoren bzw. zeigen in - Richtung bzw. in - Richtung des dreidimensionalen Koordinatensystems.
Merke
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Die angelsächsische Bezeichnung zur Darstellung der Einheitsvektoren ist , und .
Einheitsvektoren
Mit Hilfe dieser 3 Basisvektoren lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:
Beispiel
Hier klicken zum AusklappenGegeben sei der Vektor .
Der Ortsvektor ist dann eine Linearkombination aus den drei Basisvektoren:
Berechnung des Einheitsvektors
Um den Einheitsvektor eines beliebig langen Vektors zu ermitteln, muss man die einzelnen Komponenten eines Vektors kennen und diese durch die Länge des Vektors dividieren:
Methode
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Dabei ist die Länge des Vektors . Die Länge von Vektoren kann wie folgt bestimmt werden:
Methode
Hier klicken zum AusklappenLänge eines Vektors in der Ebene:
bzw.
Länge eines Vektors im Raum:
Für den Vektor in der Ebene wird die Länge mittels Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt:
Für die Länge von Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln:
Methode
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Dreiecksungleichung:
Abstand der Endpunkte von und :
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Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor
Beispiel
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Bitte berechnen die Länge des Vektors zwischen den Punkten und !
Es soll nun die Länge des Vektors berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt zum Punkt , der Pfeil zeigt also auf den Punkt . Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren und dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte.
Es wird zunächst der Vektor bestimmt, indem der Vektor von dem Vektor subtrahiert wird. Die Vektoren und entsprechen den Punkten, auf welchen sie zeigen, da diese im Ursprung beginnen. Formal richtig werden diese bestimmt durch:
Es kann nun der Vektor bestimmt werden:
Der hier berechnete Vektor stellt zunächst ebenfalls einen Ortsvektor dar, welcher im Urpsrung beginnt und auf den Punkt zeigt. Dieser muss dann parallel zu sich selbst in die Punkte und verschoben werden.
Die Länge des Vektors wird dann berechnet durch:
Merke
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Der Vektor würde bestimmt durch:
Die Länge wäre demnach identisch:
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Beispiel
Hier klicken zum AusklappenWie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?
Der Einheitsvektor wird bestimmt durch:
Es wird nun also der Vektor durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:
Der Einheitsvektor ist demnach mit der Länge :
In der obigen Grafik ist der Ortsvektor (gestrichelt) zu sehen. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung auf den Punkt . Wird dieser nun parallel zu sich selbst verschoben, so liegt er genau zwischen den beiden Punkten und und zeigt von Punkt auf den Punkt .
Der Einheitsvektor zeigt in Richtung des Vektors , ist jedoch auf die Länge normiert worden. Der Vektor besitzt hingegen die Länge .
Beispiel
Hier klicken zum AusklappenBerechne bitte die Länge des Vektors zwischen den Punkten und !
Zunächst wird der Vektor bestimmt:
Dann wird die Länge berechnet:
Die Länge beträgt damit:
Beispiel
Hier klicken zum AusklappenWie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?
Der Einheitsvektor hat die Länge . Um diesen zu ermitteln, muss der Vektor durch seine Länge geteilt werden:
