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Es wird zunächst das Branch-and-Bound Verfahren für ein Maximierungsproblem betrachtet. Dabei wird von dem gegebenen ganzzahligen Maximierungsproblem ausgegangen. Das Maximierungsproblem muss in der folgenden Form vorliegen oder in diese Form überführt werden:
Methode
- Das Problem muss in Standardform vorliegen (Maximierungsproblem,
- Die Ganzzahligkeitsbedingung muss gegeben sein.
Es müssen zunächst bestimmte Vorüberlegungen getroffen werden bevor mit der Aufstellung des Entscheidungsbaum begonnen werden kann. Diese seien im Folgenden aufgeführt.
Hierzu wird das folgende ganzzahlige Optimierungsproblem herangezogen:
u.d.N.
(1)
(2)
Das Problem liegt in der Standardform vor und die Ganzzahligkeitsbedingung ist gegeben.
Obere Schranke bestimmen
Es wird zunächst eine obere Schranke für beide Variablen bestimmt. Eine obere Schranke bedeutet, dass die Variablen maximal diesen Wert annehmen dürfen. Dies geschieht, indem die rechte Seite der Nebenbedingungen durch die Koeffizienten der Nebenbedingungen geteilt werden. Es wird dann aus jeder Variable
Methode
Befindet sich in einer Zeile mindestes eins Koeffizient der kleiner als Null ist, so wird die gesamte Zeile nicht berücksichtigt.
Die obere Schranke für die beiden Variablen
Die rechte Seite ist durch die Koeffizienten der Nebenbedingungen geteilt worden. Dabei wird der minimale Wert (abgerundet) als obere Schranke verwendet. Demnach besitzt
Prioritätenfestlegung
Nachdem die Schranken bestimmt worden sind, wird eine Variable
Methode
1.
Auswahl des minimalen negativen Koeffizienten der Nebenbedingungen. Befindet sich dieser z.B. bei
Methode
2.
Auswahl des minimalen Koeffizienten in der Zielfunktion. Befindet sich dieser z.B. bei
Methode
3.
Auswahl des maximalen Koeffizienten in der Zielfunktion. Befindet sich dieser z.B. bei
Methode
4.
Auswahl des maximalen Quotienten von Zielfunktionskoeffizient und der Summe der Koeffizienten der Nebenbedingungen. Befindet sich dieser z.B. bei
Ist die 1. Priorität nicht möglich, weil zum Beispiel keine negativen Koeffizienten in der Nebenbedingung vorhanden sind oder aber für beide Entscheidungsvariablen gleich sind, geht man zur 2. Priorität über usw.
Für das hier angegebene Problem wird die 3. Priorität herangezogen, da weder negative Koeffizienten in der Nebenbedingung vorhanden sind noch in der Zielfunktion.
Es wird dafür der maximale Koeffizient in der Zielfunktion gewählt:
3.
Der maximale Wert von
Methode
Die 4. Priorität (falls die 3. nicht möglich wäre) würde wie folgt durchgeführt werden:
In diesem Beispiel wäre die Priorität 4 aber nicht anwendbar, da beide Werte gleich sind.
Untere Schranken für Restriktionen bestimmen
Es wird nun also mit
Es ist deutlich zu erkennen, dass noch ausreichend Kapazitäten vorhanden sind, um auch
Im folgenden Abschnitt wird nun gezeigt, wie der Entscheidungsbaum aufgestellt wird.
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