Inhaltsverzeichnis
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.
Konkave Funktion
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion streng konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Konvexe Funktion
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konvex, wenn für alle
Das bedeutet also, dass die Funktion streng konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach
Konvexität und Konkavität im Intervall
Eine Funktion kann auch weder konvex noch konkav sein. Dies liegt vor, wenn die 2. Ableitung sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann für
Eine Funktion heißt konkav (konvex) auf einem Intervall
Die Funktion
ist genau dann konkav auf , wenn für alle ist genau dann konvex auf , wenn für alle
n-dimensionaler Fall
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle
Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle
Hesse Matrix
Beispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität
Beispiel
Beispiel
Umformen:
Die zweite Ableitung kann sowohl größer als auch kleiner null werden. Demnach ist die Funktion weder konvex noch konkav. Es kann aber ein Intervall angegeben werden, innerhalb welchem die Funktion konkav bzw. konvex ist.
Wird die 2. Ableitung negativ, so ist die Funktion konkav:
Wird die 2. Ableitung positiv, so ist die Funktion konvex:
Beispiel
Für den n-dimensionalen Fall (hier 2 dimensional) bedient man sich der Hesse-Matrix.
Die Eigenwerte müssen bestimmt werden:
Berechnung:
Beide Eigenwerte der Hessematrix sind negativ, demnach ist die Hessematrix negativ definit. Die Funktion
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