Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird die Methode der zulässigen Richtungen für nichtlineare Minimierungsprobleme unter Ungleichungsrestriktionen aufgezeigt.
Methode
Voraussetzung für die Anwendung der Methode der zulässigen Richtungen
max!
Es werden nun im Folgenden die notwendigen Definitionen für die Anwendung des Verfahrens aufgeführt und erläuertet.
Definitionen
Zulässiger Bereich:
Menge aktiver Indizes:
Menge zulässiger Richtungen:
Lokal beste Richtung:
Vorgehensweise
Die obigen Definitionen sind aufgeführt worden, um das im folgenden beschriebene Vorgehen zu verstehen. Es muss zu Beginn das nichtlineare Optimierungsproblem in der obigen Form vorliegen. Liegt es nicht in dieser Form vor, so muss es in die Form überführt werden. Dabei kann man sich dem Abschnitt Umformung in die Standardform bedienen. Ist eine Nichtnegativitätsbedingung im Ausgangsproblem gegeben, so wird auch diese in der Form
1. Schritt: Es wird zunächst eine Startlösung bestimmt. Diese muss innerhalb des zulässigen Bereichs
2. Schritt: Es werden als nächstes die aktiven Indizes
3. Schritt: Es wird der Gradient der Zielfunktion
Merke
Das Verfahren wird hier beendet, wenn
4. Schritt: Das Ersatzproblem wird aufgestellt und gelöst. Die Aufstellung wird wie folgt vorgenommen:
u.d.N.
Das Ersatzproblem wird mittels Simplex-Verfahren gelöst. Hierbei muss aber die Standardform vorliegen (Maximierungsproblem,
Nach Anwendung des Simplex-Verfahrens, wird dann wieder rücksubstituiert.
Es ergibt sich dann die optimale Lösung des Ersatzproblems mit
Merke
Die Werte werden dann in die Zielfunktion des Ersatzproblems eingesetzt, bei
5. Schritt: Es wird als nächstes bestimmt, wie weit man gehen kann ohne den zulässigen Bereich
Methode
Hier werden nur diejenigen Nebenbedingungen betrachtet, die nicht aktive Indizes darstellen.
6.Schritt: Danach wird bestimmt, wie weit man gehen kann, ohne die Zielfunktion zu verschlechtern. Dies geschieht mit
Methode
Einsetzen der Vektoren
7. Schritt: Bestimmung des Minimums aus Schritt 4 und 5:
Methode
8. Schritt: Berechnung der neuen zulässigen Lösung durch:
Methode
Die Schritte 2-8 wird solange wiederholt bis bei Lösung des Ersatzproblems
Für das bessere Verständnis wird in den folgenden Abschnitten ein Bespiel aufgeführt, um die Anwendung des Verfahrens aufzuzeigen.
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