Spannarbeit

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Spannarbeit.

Beim Spannen oder Dehnen einer Feder wird Arbeit verrichtet. Bei der Spannarbeit hängt aber die Spannkraft vom Weg ab. Zunächst wird die Federkraft (rücktreibende Kraft) eingeführt: 

Das negative Vorzeichen besagt: Je länger die Strecke  ist, um die eine Feder gedehnt oder gestaucht wird, desto stärker ist die entgegenwirkende Federkraft  der Feder. Wir wollen nun aber nicht die Federkraft der Feder bestimmen, sondern die Kraft, die wir benötigen, um die Feder zu spannen. Diese Kraft nennen wir im Folgenden Spannkraft. Diese ist natürlich gleich groß, aber entgegengesetzt zur Federkraft:

Diese Kraft ist also abhängig vom Weg . Das bedeutet, dass bei der Berechnung der Arbeit nun die Schreibweise mit dem Integral herangezogen werden muss:

Lösen wir das Integral nun auf, so erhalten wir:

Die beim Spannen einer Feder zu leistende Arbeit hängt also quadratisch vom Weg ab und linear von der Federkonstanten . 

Ist die Kraft gegeben, die wir aufwenden, um die Feder zu spannen, so ergibt sich mit :

Anwendungsbeispiel: Auslenkung einer Schraubenfeder

Die Formeln, die wir benötigen sind:

- Federkräfte:

- Spannarbeiten:

- Gesamte Federkraft

mit:

- Gesamtarbeit: 

mit:

Wichtig ist bei der Aufstellung der Gesamtarbeit, dass die Formel herangezogen wird und dann die Summe der beiden Teilwege für eingesetzt werden: . 

a) Welche Arbeit wird für die Verlängerung um der Feder zugeführt. Die gesuchte Arbeit entspricht der Differenz von .

     |Kürzen

Die gesamte Federkraft an der Feder beträgt (Gleichung (3)): 

Aus der obigen Gleichung ist ersichtlich, dass die gesamte Federkraft der Summe der beiden Federkrräften und entspricht.

Wir können nun in die obige Gleichung die folgenden aus der Aufgabenstellung bekannten Werte einsetzen:

Einsetzen der Werte und auflösen nach ergibt die Federkonstante:

     |

     |

Einsetzen von in Gleichung (1), um die Verlängerung zu bestimmen:

     |

     |Einsetzen der Werte

     |Einheiten kürzen

Zur Berechnung von setzen wir jetzt alle Werte in Gleichung (5) ein:

     |Einheiten kürzen

Die Arbeit, die der Feder für die Verlängerung um zugeführt wurde, beträgt .

b) Wie groß ist die gesamte Arbeit , die der Feder zugeführt wird?

Hierfür setzen wir alle Werte in die Gleichung (4) ein:

     |Klammer ausmultiplizieren (Binom. Formel)

     |Einheiten kürzen

Die der Feder zugeführte Gesamtarbeit beträgt .