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Handelt es sich um eine isotherme Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass die Temperatur
Beispiel
Was passiert bei einer isothermen Zustandsänderung?
Bei der isothermen Zustandsänderung wird die Temperatur konstant gehalten. Es wird ein Kolben betrachtet, in welchem sich Luft befindet. Das Volumen, der Druck und die Temperatur nehmen einen bestimmten Wert an. Es soll sich hierbei um einen nicht-adiabten Kolben handeln. Das bedeutet, dass Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Die Temperatur entspricht demnach zunächst der Umgebungstemperatur. Nun wird die Luft innerhalb des Kolbens verdichtet (der Kolben wird zusammengedrückt). Das bedeutet, dass sich das Behältervolumen verringert. Die Luft hat nun weniger Platz zur Verfügung, was dazu führt, dass der Druck ansteigt. Die Temperatur steigt ebenfalls an. Aufgrund des nicht-adiabten Systems wird die Luft irgendwann wieder die Temperatur der Umgebung annehmen, also die Ausgangstemperatur. Grund dafür ist die Wärme, die über die Systemgrenzen entweichen kann. Wir möchten aber die Temperatur gar nicht erst ansteigen lassen, sondern konstant bei der Anfangstemperatur belassen. Um nun also den Temperaturanstieg zu verhindern kann z.B. der Kolben mit einem Kältereservoir in Verbindung gebracht werden, welcher der Luft sofort die gesamte Wärme entzieht, so dass die Umgebungstemperatur der Luft beibehalten wird.
Nachfolgend ist die isotherme Zustandsänderung anhand eines Kolbens demonstriert:
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isotherme Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat.
Thermische Zustandsgleichung
Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit
Bei einer isothermen Zustandsänderung ist die Temperatur
Methode
und das Gesetz von Boyle und Mariotte (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit
Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Drücken gilt dann:
Methode
p,V-Diagramm
Im p,V-Diagramm verläuft die Isotherme wie eine gleichseitige Hyperbel. Das bedeutet die p-Achse (y-Achse) und die V-Achse (x-Achse) stellen die Asymptoten dar:
Mathematisch ausgedrückt:
Die Ableitung von
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt
Methode
oder man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.
Volumenänderungsarbeit
Die Volumenänderungsarbeit für ein geschlossenen System ist mit
Methode
Es ändert sich also nichts an der Volumenänderungsarbeit, da sowohl
Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach
Eingesetzt ergibt sich:
Da in dieser Gleichung
Methode
Setzt man nun für
Methode
Die Volumenänderungsarbeit
Innere Energie / Enthalpie / Wärme
Bei der iosthermen Zustandsänderung
und
Merke
Die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie ist bei der isothermen Zustandsänderung gleich Null.
Daraus folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der inneren Energie:
Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:
Methode
Für einen reversiblen Prozess mit
Methode
Es folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der Enthalpie:
Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:
Methode
Für einen reversiblen Prozess mit
Methode
Merke
Bei der isothermer Zustandsänderung muss bei zugeführter Arbeit genau die gleiche Höhe an Wärme wieder abgegeben werden bzw. bei abgegebener Arbeit die gleiche Höhe in Form von Wärme wieder zugeführt werden.
Entropie
Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:
Da
Wie bereits oben erwähnt ist aufgrund der konstanten Temperatur die Änderung der inneren Energie und die Enthalpieänderung gleich Null. Die Formeln für die Entropie sehen wie folgt aus:
Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung (nach
Alle konstanten vor das Integral ziehen (
Integral auflösen ergibt die Änderung der Entropie mittels Volumenverhältnis:
Methode
Einsetzen des Gesetzes von Boyle und Mariotte
Methode
Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als
Da
Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isobare) zur
Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch
Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt
Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt
Merke
Bei der isothermen Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isothermen nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System) sowie die Druckänderungsarbeit (offenes System).