Frequenzgang aus Differenzialgleichung

Nun erklären wir Dir, wie man den Frequenzgang aus einer Differenzialgleichung eines Übertragungselements bestimmt. Dabei stellen wir in den kommenden beiden Kurstexten zwei Fälle vor. 

1. Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselelements
2. Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen.

Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselelements

Wir erinnern uns, die Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselements lautet:

Zudem kennen wir bereits die Gleichungen für das Eingangs- und Ausgangssignal:

Und wir können problemlos die Ableitung von der Gleichung des Ausgangssignal bilden:

Nun haben wir mit den Gleichungen von und alle notwendigen Angaben um unsere Differenzialgleichung auszufüllen.

Mit dem Wissen, dass , können wir unsere Differenzialgleichung weiter zusammenfassen:

Nun lösen wir die Differezialgleichung nach auf und erhalten:

Nun können wir auch problemlos den Frequenzgang bestimmen, denn wir wissen, dass sich dieser aus dem Quotienten von und ergibt.

Also gilt für die gegebene Differenzialgleichung.

Im letzten Schritt möchten wir natürlich auch noch wissen, wie es sich mit dem Betrag und der Phase des Frequenzgangs verhält und können dies auch ganz einfach aus unseren bisherigen Ergebnissen ermitteln: