Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung

Der Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen wird wie folgt berechnet.

In diesem Fall nehmen wir zwei Voraussetzungen an:

In Worte gefasst: Der Differenzialoperator in der Differenzialgleichung wird durch  und der Integraloperator wird durch ersetzt. 

Eine dritte Annahme ist: 

3.  

Letztere Annahme für die imaginäre Kreisfrequenz bezieht sich auf die Darstellung der Frequenzgangfunktion:

Nun haben wir alles Notwendige, um die Frequenzgangfunktion für die lineare Differenzialgleichung zu bestimmen. Die lineare Differenzialgleichung wird dabei mit der harmonischen Funktion  angeregt.

Im ersten Schritt stellen wir die Differenzialgleichungen auf:

Anschließend können wir die notwendigen Transformationen durchführen:

Wir beginnen und zu differenzieren

um diese dann anschließend zu integrieren:

Nun ist es ein Leichtes, unsere bekannte Frequenzgangfunktion aufzustellen:

Im letzten Schritt möchten wir natürlich auch noch den Betrag und die Phase des Frequenzgangs bestimmen.