Periodische Funktionen

In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen , die eine bestimmte Periodendauer aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:

Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die periodische Zeitfunktion durchführen:

Unsere LAPLACE-Transformierte einer periodischen Zeitfunktion mit
mit hat somit die formale Schreibweise:

Beispiel:

In der nachfolgenden Abbildung siehst Du den Verlauf einer Sägezahnfunktion mit einer Periodendauer von . Wir möchten nun die LAPLACE-Transformierte dieser zeitlich periodischen Zeitfunktion bestimmen. 

Die Sägezahnfunktion hat folgendenden Gültigkeitsbereich: .

Allgemein lässt sich unsere Sägezahnfunktion wie folgt darstellen:

Unsere LAPLACE-Transformation hat dann die Form:

Nach dem Einsetzen von ändert sich unsere LAPLACE-Transformierte zu:

Nun beginnen wir das Integral aufzulösen:

Als Lösung erhalten wir dann letztlich für unsere LAPLACE-Transformierte: